双因素方差分析
一、双因素方差分析的含义和类型
（一）双因素方差分析的含义和内容
在实际问题的研究中，有时需要考虑两个因素对实验结果的影响。

例如上一节中饮料销售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因，采用不同的推销策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位，在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解，接受该产品。

在方差分析中，若把饮料的颜色看作影响销售量的因素A，饮料的销售地区看作影响因素B。

同时对因素A和因素B进行分析，就称为双因素方差分析。

双因素方差分析的内容包括：对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不显著。

双因素方差分析的前提假定：采样地随机性，样本的独立性，分布的正态性，残差方差的一致性。

（二）双因素方差分析的类型
双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种品牌有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景；否则，就是无交互作用的背景。

有交互作用的双因素方差分析已超出本书的范围，这里介绍无交互作用的双因素方差分析。

1.无交互作用的双因素方差分析。

无交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；
2.有交互作用的双因素方差分析。

有交互作用的双因素方差分析是假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应。

例如，若假定不同地区的消费者对某种颜色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱，
这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互作用的背景，否则，就是无交互作用的背景。

二、数据结构
方差分析的基本思想：通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

下面用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想：
如某克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：
患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同？
从以上资料可以看出，24个患者与健康人的血磷值各不相同，如果用离均差平方和（SS）描述其围绕总均数的变异情况，则总变异有以下两个来源：
组内变异，即由于随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等；
组间变异，即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均数大小不等。

而且：SS总=SS组间+SS组内v总=v组间+v组内
如果用均方（即自由度v去除离均差平方和的商）代替离均差平方和以消除各组样本数不同的影响，则方差分析就是用组内均方去除组间均方的商（即F值）与1相比较，若F值接近1，则说明各组均数间的差异没有统计学意义，若F值远大于1，则说明各组均数间的差异有统计学意义。

实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表（方差分析用）获得。

因素A位于列的位置，共有r个水平，表示第j种水平的样本平均数；
因素B位于行的位置，共有k个水平，表示第I种水平的样本平均数。

为样本总平均数
样本容量为n = r x k 。

每一个观察值x ij是由因素A的r个水平和因素B的k个水平所组成的总体中抽取的样本容量为1的独立随机样本。

在进行双因素方差分析时，假定在个总体中，每一个总体都服从正态分布，而且有相同的方差。

三、离差平方和的分解
与单因素方差分析相类似，进行双因素方差分析时也需要将总离差平方和SST进行分解。

但不同的是，这里需要将SST分解成三个组成部分：即
SSA：反映因素A的组间差异
SSB：反映因素B的组间差异
SSE：随机误差的离散状况
它们的计算公式分别为：
（1）
（2）
（3）
SSE = SST – SSA – SSB （4）
双因素方差分析表如下：
例题：某商品有五种不同的包装方式，在五个不同地区销售。

现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如表7-9所示。

试问，包装方式和销售地区对该商品销售量是否有显著影响（α= 0.05）？ 解：从上表可看出，设包装方式为因素A ，销售地区为因素B 。

如果五种包装方式的销售均值相等，则表明不同的包装方式在销售上没有差别； 同理，如果五个地区销售均值相等，则表明不同地区在销售上没有影响。

所以，方差分析的过程为： (一） 建立假设：
用A 、B 分别来表示两个因素。

因素A 位于列的位置，有r 个水平；因素B
位于行的位置，有k 个水平，因素A 和因素B 共有k r ⨯种不同的水平组合。

我们对每一种水平组合进行一次试验，其试验结果用
ij
X 来表示。

并且假定这k
r ⨯个观察值均服从正态分布，且有相同的方差。

全部试验结果如下表：
表8-9 双因素方差分析数据表
因素A(j )
因素B(i )
1A 2A …
j
A
…
r A i X ⋅
1B 11X 12X
… j X 1 … r X 1
1X ⋅ 2B
21X
22X …
j
X 2
…
r X 2
2X ⋅
M
M
M
M
M
M
M
M
i B
1i X
2i X
…
ij
X
…
ir X
i X ⋅
M
M
M
M
M
M
M
M
k B 1k X 2k X … kj
X … kr X k X ⋅
j X ⋅
1X ⋅
2X ⋅
…
j
X ⋅
…
r X ⋅
X
1
1, (1,2,,)
r
i i j j X X i k r ⋅===∑L ，表示第i 行试验数值的平均数。

（5） 1
1, (1,2,,)
k
j i j i X X j
r k ⋅===∑L ，表示第j 列试验数值的平均数。

( 6 )
11
1r k
ij
j i X X rk ===∑∑，表示k r ⨯个试验数值的平均数。

（7）
对上表中的数据可以这样来理解，假设A 、B 两因素对试验结果没有影响，那么k r ⨯个观察值
ij
X 就是来自同一正态总体的同一个样本的随机变量，各个
ij
X 之间的变异，纯是随机因素所产生的随机误差，从而各列间的平均数应是相
等的，且等于总体平均数。

各行间的平均数也应相等，也等于总体平均数。

如有差异，也是随机误差。

假如两个因素对试验结果有影响，则表现在各列平均数之间和各行平均数之间就有明显的差异，这种差异除随机误差之外，还包含了系统偏差，这时就不能认为各个观察值是来自同一正态总体的样本随机变量了。

所以，我们可以做如下假设： 对因素A ，
r
j H μμμμ=====ΛΛ2110: 因素A 各水平之间无差别 对因素B ，k i H μμμμ=====ΛΛ2120:
因素B 各水平之间无差别
通过方差分析，就能对统计假设是否可信作出一定程度的判断。

对于此题： 对因素A ： 包装方式之间无差别
不全等 包装方式之间有差别
对因素B ： 地区之间无差异
不全等 地区之间有差异
（二）计算F 值： 1.计算各种均值
(1)因素A 的列均值分别为：
(2)因素B 的行均值分别为
(3)总均值
2.计算各种离差平方和
于是，由公式（1）——（4）有：
=
SSE = SST-SSA-SSB
= 880.96-335.36-199.36 = 346.24
3.计算各种均方差
4.计算F值
若使用计算机，Excel的输出结果如下：
双因素方差分析表
差异源SS df MS F P-value Fcrit 行（因素B）199.36 4 49.84 2.303142 0.103195 3.006917
列（因素A）335.36 4 83.84 3.874307 0.021886 3.006917
误差346.24 1621.64
总计880.9624
（三）统计决策
由上表知，
1.对于因素A，因为，落在拒绝域。

故拒绝H0,接受H1。

说明不同的包装方式对该商品的销售量产生一定的影响。

2.对于因素B，因为，落在接受域。

故接受H0,说明该商品在不同地区的销售量不受地区因素的影响，或不同地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。