晶胞中的原子计数
在晶胞不同位置的原子由不同数 目的晶胞分享： 目的晶胞分享： 顶角原子： 顶角原子： 1/8 棱上原子： 棱上原子：1/4 面上原子： 面上原子：1/2 晶胞内部： 晶胞内部： 1
◆简单点阵 （P） ）
只在晶胞的顶 只在晶胞的顶 点上有阵点， 点上有阵点， 每个晶胞只有 一个阵点， 一个阵点，阵 坐标为000 点坐标为000
第二章 晶体学基础
1、晶体结构与空间点阵 、 2、晶向、晶面及指标 、晶向、 3、晶面间距 、 4、晶面族 、 5、倒易点阵 、
燕山大学材料科学与工程学院 材料现代分析测试方法课程教学团队 章学习 ， 掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的 各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定， 各种概念 ； 掌握晶面指数与晶向指数的标定 ， 晶面间距 与晶面夹角的表达；倒易点阵。 与晶面夹角的表达；倒易点阵。
国际上通用的是密勒（ 国际上通用的是密勒（Miller）指数，即用 ）指数， 三个数字来表示晶面指数。 三个数字来表示晶面指数。
标定方法： 标定方法：
(1)在一组相互平行的晶面中任选一个晶面， 量出它在三个坐标轴上的截距，并用点阵周 期a，b，c来度量。假设截距为r，s，t。 (2)取截距的倒数 1/r，1/s，1/t。 (3)将这些倒数乘以分母的最小公倍数，把他 们化为三个简单整数h，k，l， ，并用圆括号 括起来。使h∶k∶l = 1/r∶1/s∶1/t。 则(h k l)就是待标晶面的晶面指数。
晶向的表示方法： 晶向的表示方法：
取其中通过原点的一根结点列，求该列最近原点的结点的 取其中通过原点的一根结点列， 指数， 并用方括号标记[uvw]。 指数，u, v, w, 并用方括号标记 。
或者：（ ） 或者：（1）在一族相互平行的阵点直线中 ：（ 引出过坐标原点的阵点直线。 引出过坐标原点的阵点直线。 （2）在该直线上任取一点，量出坐标，并 ）在该直线上任取一点，量出坐标， 用点阵周期a, 表示。 用点阵周期 b, c表示。 表示 （3）将三个坐标值用同一个数乘或除，划 ）将三个坐标值用同一个数乘或除， 归互质整数，并加方括号。 归互质整数，并加方括号。
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2.1.2 基本矢量与晶胞
一个结点在空间三 个方向上， 个方向上，以a, b, c重 重 复出现即可建立空间 点阵。 点阵。重复周期的矢 量a, b, c称为点阵的基 称为点阵的基 称为点阵的 本矢量。 本矢量。 由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵 的单位晶胞。 单位晶胞。
布拉菲晶胞
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 来表示。 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ ，（1） 坐标原点，（ ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 、（2）其夹角为直角的数目最多， 目最多、（ ）其夹角为直角的数目最多，且 （3）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 ）晶胞体积最小。 晶胞称为布拉菲 布拉菲（ 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。 ）晶胞。
晶向指数的确定
建立坐标系，结点为原点， 1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向， 棱为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 (x2,y2,z2)。 平移晶向或坐标， 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单) 在原点则下一步更简单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2计算x2y2z2x2 z1 ； 化成最小、整数比u 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw] [uvw]中 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
z
x
我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。 我们说（553）晶面，实际是指一组平行的晶面。 一组平行的晶面
晶面指数特征： 晶面指数特征：
1，所有相互平行的晶面，其晶面指数相同，或者 三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅 是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。 2，晶面指数中h、k、l是互质的整数。 3，最靠近原点的晶面与X、Y、Z坐标轴的截距为 a/h、b/k、c/l。
习 题
分别为3， ， （1）截距 、s、t分别为 ，3，5 ）截距r、 、 分别为 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ） （3）最小公倍数 ， ）最小公倍数15， （4）于是，1/r，1/s，1/t分别 ）于是， ， ， 分别 得到5， ， ， 乘15得到 ，5，3， 得到 因此，晶面指标为（ 因此，晶面指标为（553）。 ）。 c a b y
七个晶系及有关特征
晶系 特征对称元素 晶胞特点 空间点阵型式
立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系
4个按立方体对 角线取向的3重 旋转轴 6重对称轴 4重对称轴 3重对称轴 2个互相垂直的 对称面或3个互 相垂直的2重对 称轴 2重对称轴或对 称面 无
a=b=c α=β=γ=90 °
a=b≠c α=β=90° α=β=90°,γ= 120° 120°
正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
2.2、晶向、晶面及晶向、 2.2、晶向、晶面及晶向、晶面指标
晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。 《晶体学中阵点平面与阵点直线的空间取向分别用晶面指数与晶向指数来表示。》
2.2.1 晶向与晶向指标
任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应， 任意两结点的结点列称为晶向。与此晶向相对应，一定有 一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。 一组相互平行而且具有同一重复周期的结点列。
结构基元
在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容， 包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式 晶体的结构基元。 排列的结构，称为晶体的结构基元 排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重 复周期中的具体内容。 复周期中的具体内容。
点阵点
点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上， 象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所以可简单地将晶体结构示意表示为： 所以可简单地将晶体结构示意表示为：
每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。 每一个点阵只有一个最理想的晶胞即布拉菲晶胞。
2.1.3 布拉菲点阵
法国晶体学家A. 研究表明， 法国晶体学家 Bravais研究表明，按 研究表明 照上述三原则选取的晶胞只有14种 照上述三原则选取的晶胞只有 种，称 种布拉菲点阵。 为14种布拉菲点阵。 种布拉菲点阵 14种布拉菲点阵分属 个晶系中。 种布拉菲点阵分属7个晶系中 种布拉菲点阵分属 个晶系中。
即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。 即与原点位置无关；每一指数对应一组平行的晶面。
立方晶系几组晶面及其晶面指标。 立方晶系几组晶面及其晶面指标。
（100）晶面表示晶面与a轴相截与b轴、c轴平行； 100）晶面表示晶面与a轴相截与b 轴平行； （110）晶面表示与a和b轴相截，与c轴平行； 110）晶面表示与a 轴相截， 轴平行； （111）晶面则与a、b、c轴相截，截距之比为1:1:1 111）晶面则与a 轴相截，截距之比为1:1:1
2.1、晶体结构与空间点阵 、
2.1.1 空间点阵（Space Lattice） 空间点阵（ ）
晶体结构的几何特征是其结构基元（ 晶体结构的几何特征是其结构基元（原 结构基元 离子、分子或其它原子集团） 子、离子、分子或其它原子集团）一定周期 性的排列。 性的排列。通常将结构基元看成一个相应的 几何点，而不考虑实际物质内容。 几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限 多个作周期性排列的几何点。 多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结 构抽象出来的， 构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期 性的几何点，称为晶体的空间点阵 空间点阵。 性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点 阵点。 为阵点。
简单立方 立方体心 立方面心 简单六方 简单四方 体心四方 简单六方 R心六方 简单正交 C心正交 体心正交 面心正交 简单单斜 C心单斜 简单单斜
a=b≠c α=β=γ=90° α=β=γ=90° a=b=c α=β=γ≠90 ° a≠b≠c α=β=γ=90° α=β=γ=90° a≠b≠c α=β=90° α=β=90°≠ γ a≠b≠c a≠b≠c≠90° a≠b≠c≠90°
底心点阵， ◆底心点阵，C 除八个顶点上有阵点外， 除八个顶点上有阵点外， 两个相对的面心上有阵 点，面心上的阵点为两 个相邻的平行六面体所 共有。因此， 共有。因此，每个阵胞 占有两个阵点。 占有两个阵点。阵点坐 标为000，1/2 1/2 0 ， 标为
2.1.4 点阵常数
平行六面体的三个棱长a 平行六面体的三个棱长a、b、c和及其夹 角α、β、γ，可决定平行六面体尺寸和 形状，这六个量亦称为点阵常数。 形状，这六个量亦称为点阵常数。 点阵常数
体心点阵， ◆体心点阵，I 个顶点外， 除8个顶点外，体 个顶点外 心上还有一个阵点， 心上还有一个阵点， 因此，每个阵胞含 因此， 有两个阵点， ， 有两个阵点，000， 1/2 1/2 1/2
面心点阵。 ◆面心点阵。F 个顶点外， 除8个顶点外，每个面心 个顶点外 上有一个阵点， 上有一个阵点，每个阵 胞上有4个阵点，其坐标 胞上有 个阵点， 个阵点 分别为000，1/2 1/2 0， ， 分别为 ， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2 ，
14 种 空 间 点 阵 形 式
按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 按晶胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 14 点阵分为四类： 点阵分为四类： 简单(P) 简单(P) 简单 体心(I) 体心(I) 体心 面心(F) 面心(F) 面心 底心(C) 底心(C) 底心