第十节
抛物线(二)
基础自测
1．(2012·合肥月考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A.12 B ．1 C ．2 D ．4
解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p
2.
圆x 2＋y 2－6x －7＝0，可化为(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，
半径为4.又抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2＋y 2－6x -7＝0相切， ∴3＋p
2＝4，解得p ＝2.故选C.
答案：C
2．已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线的焦点F 且斜率为1
2
的直线l 被抛物线截得的线
段长为( )
A.9
4 B.17
8
C.5
D.4
解析：抛物线C ：x 2＝4y ，则焦点F (0,1)．直线l 为y ＝1
2
x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＝4y ，y ＝12x ＋1，得x 2－
2x －4＝0.
由韦达定理，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4. 由弦长公式可得，截得的线段长为
1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝
1＋⎝⎛⎭
⎫122
×22－4×(－4)＝5.
答案：C
3．(2013·东北三校第二次联考)若拋物线y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点和拋物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为________．
解析：设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0＋p
2
＝10，
|y 0|＝6，
y 2
＝2px 0
，
所以36＝2p ⎝
⎛⎭⎫10－p
2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.
答案：2或18
4．(2013·宁夏银川一中第五次月考)已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p >0)的
准线相切，则此抛物线的焦点坐标是________．
解析：圆方程：x 2＋y 2－6x －7＝0化为：(x －3)2＋y 2＝16，垂直于x 轴的切线为：x ＝－
1，x ＝7.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p
2
，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x
－3)2＋y 2＝16相切，所以－p
2
＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
答案：(1,0)
1．(2013·江西卷) 已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
解析：依题意可得AF 所在直线方程为x
2＋y ＝1，代入x 2＝4y 得y ＝3－52
，又|FM |∶|MN |
＝(1－y )∶(1＋y )＝1∶ 5.
答案：C
2．(2013·辽宁卷)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2
时，切线MA 的斜率为－1
2
.
(1)求p 的值；
(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．
解析：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x
2
，且切线MA
的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14
. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋1
4＝－3－224，①
y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②
由①②得p ＝2.
(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 2
14，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 2
24，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝x 1＋x 2
2
，③ y ＝x 21＋x 2
28
.④
切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 21
4.⑤
y ＝x 22(x －x 2)＋x 22
4
.⑥
由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.
因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，
所以x 1x 2＝－x 21＋x 2
2
6
.⑦
由③④⑦得x 2＝4
3
y ，x ≠0.
当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝4
3y .
因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝4
3y .
1．(2012·三明模拟)设抛物线y 2＝4x 的准线为l ，焦点为F ，P 为抛物线上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若△PQF 的面积与△POF 的面积之比为3∶1，则点P 坐标是________________．
解析：(2，－22)或(2,22)
2．(2013·江苏泰州二模)已知过点A (－4, 0)的动直线l 与拋物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于
B 、
C 两点．当直线l 的斜率是12
时，AC →＝4AB →
.
(1)求拋物线G 的方程；
(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
解析：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝1
2
(x ＋4)，即x
＝2y －4.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝2py ，x ＝2y －4，
得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，
y 1＋y 2＝8＋p 2
，y 1y 2＝4，由已知AC →＝4AB →，所以y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，
y 2＝4，p ＝2，所以拋物线G 的方程为x 2＝4y .
(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，
设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，由Δ>0
得k <－4或k >0，
所以x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1
k
(x
－2k )，所以b ＝2(k ＋1)2
，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．。