2

2
自由电子：
V 2m g (E) 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
d dE
ln g ( E )
1 2E
EF EF 0

2
6
(k BT )
2
1 2 EF 0
2 k BT 2 EF EF 0 1 ( ) 12 EF 0
上面结果类似级数展开。室温下(kBT/EF0)2项仅104数量级，所以 EF和EF0十分接近。但EF随温度升高的轻微降低往往有重要的影响。
EF 0
3 N 2m V
2

2/3


2
2m
3 n
2
2/3
•n=N/V为价电子浓度，T=0k时的费米能EF0仅仅依赖电子浓度n。
•对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，EF0=1.511eV。
某些金属的费米能
金属
EF0/eV
Li
4.72
3 2
ln E F 0 C

3 dE 2 EF 0
g ( EF 0 )
dN dE

3N 2 EF 0
11
二维正方格子金属费米面
•二维自由电子近似下费米面的半径kF： kF 2n
•当kF远小于/a，即费米面远离布里源区边界。自由电子：球形；近自由 电子近似：球形（略微畸变）
自由电子和近自由电子
E
3/ 2
dE
V 2m 2 2 5
3
EF 0
3/ 2
5/ 2
V 2m 2 2 5 3
E
3/ 2 F0
EF 0

3 5
NEF 0
因此每个自由电子的平均能量为：
E U0 N 3 5 EF 0
4
T0K时的费米能级EF
•有限温度下的费米能级EF不等于EF0！！
能带电子的经典近似
已知能谱E(k)
k 1 E (k ) k
能带电子速度：
能带电子运动方程： 能带电子牛顿方程：
v

F
d (k ) dt
F m a
*
能带电子有效质量：
m
*

2
2 2
E (k ) / k
1
能态密度 g(E)
能态密度定义为单位能量间隔内的状态数，用g(E) 表示。考虑能量在EE+dE之间的状态数为G，则 g(E) 定义为：
(k ) F
2mE ( n) 3
0 F 2
1/ 3
10
费米面附近电子的速度称为费米速度vF:
vF 2 EF m
0

k F m

m
3 n
2
1/ 3
对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，vF108cm/s。 费米面附近电子气体的能态密度，称费米能态密度:
9
费米面附近的电子状态非常重要！有必要重点讨论。又因为在 kBT << EF0的情况下，EF对EF0偏差很小，故认为EF EF0。
费米能级EF0： EF 0

2
2m
3 n
2
2/3
费米面对应的电子的波矢量称费米波矢kF：
k F ( n) 3
2
1/ 3
费米面电子的动量称费米动量：
g( E)dE
0
g (E) s (E)
'
EF E F 0

2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
8
'
EF E F 0

2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
'
EF 0
d (k BT ) ln g ( E ) 6 dE EF 0
5
EF的确定

N
f ( E)g( E) dE
0 0
g( E)
e

( E EF ) / k BT
1
dE
引入一个函数：
s( E)
E
g( E)dE
0
0
g (E) s (E)
'
s(E)表示0E范围内量子态的总数。

N
f ( E)d[s( E)]
0
f ( E)s( E)
s( E)(
0
f E
)dE
第一项显然等于0，因为当E0时，s(E)0；当E时，f()0。

N s( E)(
0
f E
)dE
6
f (E) e
f ( E) E 1
1
( E E F ) / k BT
1
1
( E EF ) / k BT
k BT [e
N s ( EF )

6
2
(k BT ) s" ( EF )
2
上式右端在EF0处作(EF-EF0)级数展开：
N s ( EF0 ) s ( EF0 )( EF EF 0）
'

6
2
(k BT ) s" ( EF0 )
2
EF 0
s ( EF0 )
g ( E ) dE
•当费米面接近第一布里源区边界（即kF /a）。自由电子近似：由于周 期势作用，布里渊区边界存在能隙，将使费米面畸变。费米面几乎总是垂 直布里渊区边界，并且尖角圆滑化。
•当kF> /a此时，费米面穿过第一布里渊区进入第二布里渊区。形状更为复 杂。 12
f(E)


EF必须满足：
N
f ( E)g( E) dE e
0 0
g( E)
( E EF ) / k BT
1
dE
•假设T升高，EF不变(=EF0)。 热激发使电子在EF0以下能级占 据几率减小， EF0以上能级几率增加，对称变化。 •自由电子，g(E)随E递增，总电子数增加。故EF必须降低。
Na
3.12
K
2.14
Cs
1.53
Al
11.8
Zn
11.0
Cu
7.04
Ag
Au
3
5.51 5.54
“导带电子系统”的基态能量：
U 0 Ef ( E ) g ( E )dE
0 EF 0
Eg ( E )dE
0

EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
3/ 2
0
EF 0
s ( EF0 )( EF EF 0）
'

6
2

(k BT ) s" ( EF0 ) 0
2
N f ( E ) g ( E ) dE
0
g ( E )dE
0
EF EF0

2
6
(k BT )
2
s" ( EF0 ) s ' ( EF0 )
E
s( E)
g ( EF 0 ) V 2m 2 2 2
3/ 2
EF 0
1/ 2
EF 0

2
2m
3 n
2
3/ 2
g ( EF 0 )
mV
2/3

2
2
3 n
2
1/ 3
V 2m 2 2 3
3/ 2
EF 0 N
dN N
ln N
g ( E ) lim G E
E 0
2
设体积V内金属价电子总数为N，则：


f ( E ) g ( E )dE N
V 2m 2 2 3
2
3/ 2
0

EF 0 N
3/ 2
EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
dE N
( E EF ) / k BT
1][e
1]
(f/E)特点：非零值集中于EF附 近kBT范围内，且是(EEF)的偶函 数，具有类似函数的特征 。

N s ( E )(
0
f E

)dE

s( E )( E )dE
f
积分的主要贡献来自EF附近的E，积分下限改为-不改变结果。 7