相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
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第八章 玻色统计和费米统计
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
el l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
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第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
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第八章 玻色统计和费米统计
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
2001年诺贝尔物理学奖
Carl E. Wieman 卡尔·维曼
以表彰他们根据玻色－爱因斯 坦理论发现了一种新的物质状态— —“碱金属原子稀薄气体的玻色－ 爱因斯坦凝聚（BEC）”。
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第八章 玻色统计和费米统计
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
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第八章 玻色统计和费米统计
al
leΒιβλιοθήκη l1（8.1.1)
爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴 趣。然而实现BEC 的条件极为苛刻和“矛盾”： 一方面希望达到极低的温度，另一方面 还要求原 子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷； 而斯坦福大学华裔物理学家朱棣 文、法国巴黎高 等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局 的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有 效 的制冷方法，他们三人因此分享了1997年度诺 贝尔物理学奖。1976年， Nosanow和Stwalley证明 在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保 持 气态，则为实现第二个要求提供了希望。
3/
2
VkTe
1
1 25/ 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
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考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
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系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
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思想开放，不迷信权威。创新就是要打 破某些已有的定论，因循 守旧，盲从权威是 不可能有所创新的。中国的知识分子经历了 太多的 苦难以及封建思想的残余，以至于思 想里保守成分多，权威意识过强， 传统教育 中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。
科学文化的沉淀。任何重大创新不是 凭空冒出来的，创新必须以 继承已有的优 秀科学成果和思想方法为前提，这种科学 文化需要长时 间的积累。而中国内地真正 科学文化的萌芽起于1919年的五四运动， 后来又受文革的严重冲击，因此真正的科 学文化沉淀也就20来年时间， 比起西方三 四百年简直是小菜。
⑴ 平均粒子数:
N ln Ξ
(8.1.10)
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⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
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(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
N V
h2
2 mkT
3/
2
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U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
从实现BEC的历程来看，有以下两个 必备的客观条件：首先是理 论准备（玻色 和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进 步（朱棣文 等人的工作）。剩下的就是个 人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman、 Cornell和Ketterle选择碱金属原子气体作为 冷却的对象）。这样看来， 诺贝尔物理学 奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会 问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？ 我们在这里谈几点：
式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
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第八章 玻色统计和费米统计
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
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N
l
al
l
l
e l 1
(8.1.6)
U
l
all
l
ll (8.1.7)
e l 1
式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
引入函数：
Ξ
1 e l l
l
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(8.1.8)
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
ln Ξ l ln(1 el ) (8.1.9) l
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BEC是物质的一种奇特的状态，处于这 种状态的大量原子的行为 像单个粒子一样。 打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突 然指挥 官发令“向东齐步走”，于是所有 的士兵像一个士兵一样整齐的向东 走去。 如果将士兵缩小到原子尺度，以至于分辨不 出谁是谁，我们便看到了“BEC”。那为什 么冠以玻色－爱因斯坦的名字呢？有这样一 段插曲。
热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据 中科院2001年科学发展 报告统计，诺贝尔物理 学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁， 他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱 着物理学。他们能如此 执著，一方面是经济条 件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是 以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更 乐意将学生培养成标准 的螺丝钉，学生本人则 很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响 下立刻便沉到“海”里去了。
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
D( )d g 2V (2m)3/2 1/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
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第八章 玻色统计和费米统计
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体