玻色分布和费米分布
现对费米分布推导如下 ： 对 ()∏-=Ωl l l l l D F a a !
!!
..ωω 取对数得：()[]
∑---=Ωl l l l l D F a !ln !ln !ln ln ..εωω N>>1
，
若假设a l >>1 ， ωl >>1可得到：
()()[]∑----=Ωl
l l l l l l l l D F a a a a ωωωωln ln ln ln ..
约束条件：
∑=l
l
N a
；
∑=l
l
l E a ε
为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为α和β则拉格朗
日函数为：l l l l l l
D F a a a
E N δβεαωβδαδδ∑⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++--=--Ωln ln .. 若令上式为零，则有：0ln
=++-l l l l a a βεαω ， 即
上式给出了费米系统粒子的最概然分布，称为费米——狄拉克分布。

玻色分布的推导作为练习，请同学们课后自己推导. 6．8 三种分布的关系 1 、由
∑=l
l
N a
∑=l
l
l E a
ε确定拉氏乘子a 和β的值.
在许多实际问题中,也往往将β看作由实验确定的已知参量而由∑=l l
l a
εE 确定系统的内
能.或将a 和β都当作由实验确定的已知参量,而由
∑=l
l
N a
∑=l
l
l E a
ε确定系统的平均
总粒子数和内能.
2 、能级的εl 有ωl 个量子态处在其中任何一个量子态上的平均粒子数应该是相同的,因此处在能量为εS 的量子态S 上的平均粒子数为: s
s
s a f ω=
即: s
s
s a f ω=
定域系统 ：s
e
βεα--
费米系统：11++s
e βεα 玻色系统：
1
1
++s
e
βεα
总粒子数和能量可分别表示为: N =
∑s
s
f
定域系统 =
∑--s
S
e βεα
“+”费米系统 “-”玻色系统 =
∑±+s
S
e 1
1
βεα
E =
∑s
s
s f ε
定域系统 =
∑--s
s S
e βεα
ε
“+”费米系统 “-”玻色系统 =∑±+s
s
S
e 1
βεα
ε(式中εs 为粒子的所有量子状态求
和 )
3 、若α满足 1>>α
e ， 则 有: s
s e e a l
l
l βεαβεαωω++≈
±=
1
这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,由上式可知:
11<<=
+l
e a l
l
βεαω（对所有l ）
这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,这个式子就是前边提到的所谓的非简并性
条件,当非简并条件满足时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳兹曼分布. 4 、在推导最概然分布时,应用了l >>1 ， ωl >>1, al -ωl >>1等条件,这些条件实际上是不满足的,这是推导过程的一个严重的缺点,我们将在后边的学习中用巨正则系统求平均分布的方法严格地导出这些分布.
5 、定域系统和满足经典极限条件的玻色(费米)系统虽然遵从同样的分布,但它们的微观状态数是不同的.前者为ΩM.B.,后者为ΩM.B ./N!因此对那些直接由分布函数导出的热力学量,两者具有相同的统计表达式.然而,对于例如熵和自由能等与微观状态有关的热力学量,两者的统计表达式有差异.
6最可几分布的推导也可以推广到含有多个组元的情况。