第二章 解析函数解析函数是复变函数论研究的中心和主要对象，它是一类具有某种特性的可微（可导）函数，并在理论和实际问题中有着广泛的应用．本章，我们首先介绍复变函数的极限与连续，并从复变函数的导数概念出发，引入解析函数，导出复变函数可导和解析的主要条件——柯西—黎曼条件，并给出判断函数可导和解析的一类充分必要条件（它是用复变函数的实部和虚部两个二元实函数所具有的微分性质来表达的充要条件）；其次，介绍几类基本初等解析函数，这些函数实际上是数学分析中大家所熟知的初等函数在复数域上的推广，并研究它们的有关性质．一、基本要求1．掌握复变函数的极限和连续的概念，能对照数学分析中极限和连续的性质，平行地写出复变函数的极限与连续的相应性质（比如极限和连续的四则运算性、极限和连续的局部不等性（由于复数没有大小的规定，因此，此性质是与局部保号性相对应的性质）、极限与连续的局部有界性、极限存在的柯西准则、极限的归结原则和复合函数的连续性等），并能熟练地运用四则运算性和复合函数的连续性求函数的极限或判断函数的连续性．2．熟练掌握复变函数的极限和连续与其实部、虚部两个二元实函数的极限和连续的等价关系，能利用这种关系借助二元实函数的极限或连续简洁地求复变函数的极限或讨论复变函数的连续性；能利用这种关系借助有界闭集上二元连续函数的整体性质简洁地证明有界闭集上复变连续函数的整体性质（比如：有界性，最大模和最小模的存在性，一致连续性）．另外，关于对具体函数的一致连续性的讨论，大家还要掌握利用下面的结论来判断函数不一致连续的有效方法，结论如下：复变函数()f z 在点集E ⊂£上一致连续⇔对任意两个点列n z ，n z 'E ∈，只要0()n n z z n '-→→∞，总有()()0()n n f z f z n '-→→∞．３．掌握讨论0lim ()z z z Ef z →∈不存在的如下有效方法： 设l 是点集E ⊂£中过0z 的一条曲线（0z 是E 的聚点），1l 和2l 是点集E 中过0z 的两条不同曲线，若0lim ()z z z l f z →∈不存在或01lim ()z z z l f z →∈，02lim ()z z z l f z →∈都存在但极限值不相等，则0lim ()z z z E f z →∈一定不存在．４．能正确地理解复变函数可微（可导）和解析的概念，并弄清下面几种关系： ●可微，解析与连续的关系；●可微与解析两个概念之间的联系和差异；●可微和解析与复变函数的实部、虚部两个二元实函数可微之间的联系和差别．５．熟习复变函数导数和解析的运算法则（如四则运算法则，复合函数的求导法则），能熟练地运用这些法则，并借助一些已知的解析函数来判断某些复变函数的解析性．下面列举的几类具体函数，其可微性和解析性情况希望大家要熟习： ●()f z z =；()f z z =；()Re f z z =；()Im f z z =都在£上处处连续但处处不可微，从而它们都在£上处处不解析． ●2()f z z =；2()Re f z z =在都在£上处处连续但仅在原点0z =可微，从而它们都在£上处处不解析 2()f z z a =-；2()Re ()f z z a =-在都在£上处处连续但仅在一点z a =可微，从而它们都在£上处处不解析．●()f z c ≡（常函数）；多项式函数101()n n n P z a z a z a -=+++L ；指数函数z e ；正弦和余弦函数sin z 和cos z ；双曲正弦和余弦函数cosh z 和sinh z 都在£上解析（即都是整函数，所谓整函数是指在£上解析的函数） ●有理函数101101()n n n m m ma z a z a R zb z b z b --+++=+++L L ；正切、余切、正割和余割函数tan z 、cot z 、sec z 和csc z 都在其自然定义域内解析．６．掌握函数可微和解析的充要条件以及在可微情况下，函数导数用实或虚部的偏导数来计算的计算公式，如函数()f z u iv =+在点z x iy =+可微，则()u v u u v v v u f z i i i i x x x y y x y y∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=+=-∂∂∂∂∂∂∂∂． 理解柯西—黎曼条件在函数可微或解析中的地位和作用，并能熟练地运用柯西—黎曼条件判别给定的函数的可导性和解析性．７．归纳区域内解析函数为常函数的若干等价条件，并通过这些等价条件的证明初步体会柯西—黎曼条件在讨论解析函数性质中的作用．８．熟练地掌握几类初等单值解析函数（如：常函数，多项式函数，有理函数，复指数函数，复三角函数，复双曲函数以及这些函数经过有限次的四则运算或函数的复合所得的函数），以及这些函数的主要性质．９．初步了解和掌握研究初等多值解析函数的基本思想和基本方法，了解支点的特点（即动点单独围绕支点变化时，函数值会发生变化）以及支割线的特点（即将函数的定义范围沿支割线割开，能限制动点在割开的定义范围内不可能再围绕各支点变化），并理解它们在将多值函数单值化中的作用．１０．掌握将幅角函数，对数函数，，一般幂函数（包括根式函数w =）以及稍复杂一点的两类多值函数w =w =它们的单值分支函数，并会利用如下已知初值在连续变化的意义下求终值的公式，求满足初值条件要求的单值分支函数在另一指定点处的函数值．下面列举的三个公式是今后常用的已知初值在连续变化意义下求终值的公式：●已知幅角函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为0arg z ，则此函数在另一点1z 的值1arg z 要按下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 的一条简单曲线，z C arg ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时， 幅角的连续改变量．●已知多值函数的一分支函数（可以是单值的也可以是多值的，视具体问题确定）)(z f 在某一点0z 的值为)(0z f , 则此函数在另一点1z 的值)(1z f 可按下面的公式计算: 其中)(arg )(arg )(arg 01z f z f z f C ∆+=，C 是此函数的定义范围内，从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时，)(z f 的幅角的连续改变量．另外)(arg z f C ∆的值与)(arg 0z f 的取值无关, )(arg 0z f 的取值可相差π2的整数倍．●已知对数类函数Ln ()f z 的某一分支函数)(ln z f 在某一点0z 的值为)(ln 0z f ，则此函数在另一点1z 的值1ln ()f z ， 可用下面的公式计算：其中C 是此函数的定义范围内,从0z 出发到1z 一条简单曲线，)(arg z f C ∆表示当动点z 从0z 出发沿C 连续变到1z (方向是从0z 到1z )时, )(z f 的幅角的连续改变量. )(arg 0z f 是初值)(arg )(ln )(ln 000z f i z f z f +=的虚部．二、问题研究——复变函数的导数表示我们知道复变函数的代数表示可看成两个实变量x ，y 的二元实变复值函数，若(,)u x y 和(,)v x y 的偏导数存在，则类似于二元函数的偏导数的记号，令f u v i x x x ∂∂∂=+∂∂∂，f u v i y y y∂∂∂=+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅰ） 分别称为()f z 对x ，y 的偏导数．若(,)u x y 和(,)v x y 都可微，则称()f z 作为两个实变量x ，y 的二元实变复值函数实可微．再令z x iy =+，由于1()2x z z =+，1()2y z z i=-，因此，()(,)(,)f z u x y iv x y =+也可形式上视为两个独立复变量z ，z 的二元函数，具体来讲，将f 视为()(,)(,)f x iy u x y iv x y +=+与1()2x z z =+和1()2y z z i=- 复合而成的复合函数（可见单复变函数可以看成一个多复变函数），类似于数学分析中的复合函数求导的链式法则，有1()2z f f f f i z x y ∆∂∂∂==-∂∂∂，1()2z f f f f i x y z ∆∂∂∂==+∂∂∂ ┈┈┈┈┈┈┈ （Ⅱ） 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得将（Ⅱ）中两式相加、相减得z z f f f x ∂=+∂，1()z zf f f x i ∂=-∂． 问题：若复变函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+定义在区域D 内，点z x iy D =+∈，则 （１）函数()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微是否能用下面的关系刻画：()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微 ⇔0()f f f x y z x y∂∂∆=∆+∆+∆∂∂，其中z x i y ∆=∆+∆． （２）()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+在点z x iy D =+∈实可微与()f z 在点z x iy =+可微有何关系？（３）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与f x∂∂有何关系？ （４）若()f z 在点z x iy =+可微，则(,)u x y 和(,)v x y 满足的Ｃ．Ｒ．条件与z f 有何关系？ （５）若()f z 在点z x iy =+可微，则()f z '与z f 有何关系？（６）请用()f z 的实可微以及z f 所满足的关系，再建立一类判断复变函数()f z 可微和解析的判别方法．（７）利用（６）中你建立的方法，再讨论函数22()f z x iy =+和2()f z z =可微性和解析性，并求他们在可微点处的导数．。