2011 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母填写在题后的括号内。
（1）设集合 M = {x|0<x<1}，集合 N={x| -1<x<1}，则【 】（A ）M∩N=M （B ）M∪N=N （C ）M∩N=N（D ）M∩N= M∩N（ 2） 已知函数 f (x ) 的图象与函数y = sin x 的图象关于 y 轴对称， 则 f (x ) =【 】（A ） -cos x（B ） cos x（C ） -sin x（D ） sin x（3） 已知平面向量a = = (-1, 3) ，则a与 的夹角是【】(1, 2), b b（A ）（B ）（C ）（D ）23 4 6（4） 函数 y =1(x ≠ -5) 的反函数是【 】x + 5（ A ） y = x - 5(x ∈ R ) （ B ）y = 1 + 5(x ≠ 0) x（ C ） y = x + 5(x ∈ R )（D ） y = 1- 5(x ≠ 0)x x -1(5) 不等式 x< 0 的解集是 【 】（A ）{x|0<x<1} （B ）{x|1<x<∞} （C ）{x|-∞<x<0}（D ）{x|-∞<x<0}(6) 已知函数 f (x ) =1 cos x + 3 sin x，则 f (x ) 是区间 【 】 2 2 2 2（A ） ( 2, 8) 上的增函数 （B ） (- 2, 4) 上的增函数3 3 3 3 （C ） (- 8, - 2) 上的增函数 （D ） (- 4, 2) 上的增函数3 3 3 3(7) 已知直线l 过点(-1,1) ，且与直线 x - 2 y - 3 = 0 垂直，则直线l 的方程是【】（A ） 2x + y -1 = 0 （B ） 2x + y - 3 = 0 （C ） 2x - y - 3 = 0（D ）2x -y -1 = 0(8)已知圆锥曲线母线长为5，底面周长为6，则圆锥的体积是【】（A）6（B）2（C）8（D）36(9)S n 是等差数列{a n }的前n 项合和，已知S3 =-12 ，S6 =-6 ，则公差d =【】（A）-1 （B）-2 （C）1 （D）2(10)将3 名教练员与6 名运动员分为3 组，每组一名教练员与2 名运动员，不同的分法有【】（A）90 中（B）180 种（C）270 种（D）360 种二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上。
（11）(2x2+1)6的展开式中常数项是。
x(12)已知椭圆两个焦点为F (-1, 0) 与F (1, 0) ，离心率e =1，则椭圆的标准方程1 2 3是。
（13）正三棱锥的底面边长为 1，高为6，则侧面面积是。
6(14)已知{ a n }是等比数列，a1 ≠a2 则a1 + 2a2 = 3a3 =1，则a1 =。
(15)在∆ABC 中，AC=1,BC=4, （16）已知函数f (x) = 4ax2+ cos A =-3则cos B =。
5a(a > 0) 有最小值8，则a =。
x2三．解答题：本大题共 3 小题，共 54 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．⋅ = - (17)（本题满分 18 分）甲、乙两名篮球运动员进行罚球比赛，设甲罚球命中率为 0.6，乙罚球命中率为 0.5。
(I ）甲、乙各罚球 3 次，命中 1 次得 1 分，求甲、乙等分相等的概率；(II)命中 1 次得 1 分，若不中则停止罚球，且至多罚球 3 次，求甲得分比乙多的概率。
（18（）本题满分18 分）如图正方体 ABCD - A ' B 'C ' D ' 中,P 是线段AB 上的点，AP=1,PB=3(I ）求异面直线 PB ' 与 BD 的夹角的余弦值；(II) 求二面角 B - PC - B ' 的大小；(III) 求点 B 到平面 PCB ' 的距离B’B(19)（本题满分 18 分）2y 2 设 F(c,0)(c>0)是双曲线 x -= 1的右焦点，过点 F(c,0)的直线l 交双曲线于 P,Q 两2点，O 是坐标原点。
（I ） 证明OP OQ 1；(II)若原点 O 到直线l 的距离是 3，求∆OPQ 的面积。
2绝密★ 启用前2011 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试数学试题参考答案和评分参考评分说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制2 6 50 1 3 2 订相应的评分细则， 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分效的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 6 分，满分 60 分．( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) C （4）D （5）A( 6 ) D ( 7 ) A ( 8 ) B ( 9 ) D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题 6 分，满分 36 分．2 (11）60（12） x+ y = 9 8(13)3 4（14）3(15)（16）2三．解答题： (17）解：(I) 设甲得分为 k 的事件为 A k ，乙得分为 k 的事件为 B k ，k=0,1,2,3 则P ( A ) = 0.43= 0.064P ( A ) = 3⨯ 0.6 ⨯ 0.42 = 0.288P ( A 2 ) = 3⨯ 0.6 ⨯ 0.4 = 0.432P ( A ) = 0.63 = 0.21610 1 23 1 2 1 2 P (B ) = 0.53= 0.215P (B ) = 3⨯ 0.53 = 0.375P (B ) = 3⨯ 0.53 = 0.375P (B ) = 0.53 = 0.125甲和乙得分相等的概率为p = p ( A 0 B 0 + A 1B 1 + A 2 B 2 ) = 0.305（II ） 设甲得分多于 k 的事件为 D k ，乙得分为 k 的事件为 E k , k = 0,1, 2 ,则p (D 0 ) = 0.6p (D ) = 0.62 = 0.36p (D ) = 0.63 = 0.216p (E 0 ) = 0.5p (E ) = 0.52 = 0.25p (E ) = 0.53 = 0.125甲得分比乙多的概率为p = p (D 0 E 0 + D 1E 1 + D 2 E 2 ) = 0.41718. 本题主要考查立体儿何中角与距离的计算，涉及两条异面直线角、二面角、点到面的距离．考查运算能力和空间想象能力。
解：（I ）连接 B ' D ' , B ' D ' //BD,异面直线 PB ' 与 BD 的夹角是∠PB ' D ' 。
过点 A ' 作 PB ' 的垂线，垂足为 Q ，由三垂线定理，D Q⊥ PB '由A 'Q = BB ' 得 A 'Q = 16 A ' B ' PB ' 5DQ= 4 41 , QB ' = 12 , cos ∠PB ' D ' = 3 25 5 10(II) 过点 B 作 PC 的垂线 BR ，垂足为 R,由三垂线定理 BR⊥PC. B - PC - B ' 的平面角由 BR = PC ，得 BR = 12∠BRB ' 是二面角BP BC 5 tan ∠BRB ' = 53二面角 B - PC - B ' 的大小为arctan 53（III ） 四面体 B - PCB ' 的体积V = 8三角形 PCB ' 的距离d = 3VS = 6 3417（19）本题主要考查直线与双曲线的位置关系应用．涉及平面向量的数量积、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查分析问题、解决问题的能力和运算能力。
解：（I ） c = 3- 3k 2 + 2 k 2 +1 -2 3k + 2k k 2 +1 - 3k 2 - 2 k 2 +1 -2 3k + 2k k 2 +1 OP ⋅ O Q = -1若直线l 的方程是 x = ，代入双曲线方程，解得两个交点的坐标分别是( 3, 2)( 3, -2)从而若直线l 的方程是 y = k (x - 3),| k |= 代入双曲线方程，化简得(2 - k 2 )x 2 + 2 3k 2 x - (3k 2 + 2) = 0解得两个交点的坐标分别是( 2 - k 2 , 2 - k 2 )( 2 - k 2 , 2 - k 2 )3k 4 - 4(k 2 +1) +12k 2 - 4k 2 (k +1) 从而OP ⋅ O Q = = -1(2 - k )2（II ）原点 O 到直线 y = k (x - 3) 的距离d = 若d = 3 ，则k = ±2|PQ|=16∆OPQ 的面积是 12。
3 2 k 2 +1 3。