第四节 用频率特性法分析系统性能
4．二阶系统开环频率特性与动态性能的关系
开环传递函数：
G(s)=
ωn2 s(s+2ζωn
)
G(ωj
)=
ωj
ωn2 (ωj +2ζωn
)
Aω(
)=ω
ω
ωn2 2+(2ζωn
)2
φ ω( )=-90o- tg-12ζωωn
L(ω ) dB
20
-20dB/dec
ωc
0
2ζωn
+20 0
-40dB/dec
ωc
ω
闭-函4环0数d传B为可/递d：近eφc似的(s认直)=为线1+ω整sω。2sc22c个2 =曲s2ω+线ωc2 是-c220 一处稳条于定斜临状率界态为
中频段斜率为-40dB/dec ，所占频率区
间不能过宽，否则系统平稳性难以满足要求。
通常，取中频段斜率为-20dB/dec 。
40
40
σ%
30
20
20
0
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ζ
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(2)ωc 、γ与ts 之间的关系
根据：
得
ts=ζω3n ωc=ωn 4ζ 4+1 -2ζ 2
tsω·c= 3
4ζ 4+1 -2ζ 4ζ
2ζ 4+1 -2ζ
2
得 ts·ωc=tgγ6
σ%= e-ζπ 1-ζ 2100%
ωc=ωn 4ζ 4+1 -2ζ 2
σ%
140
80
ζ与γ、=1σ8%0o+之φ间(ω的c )
120 100
70 60
=180关o-9系0o曲-tg线-12ζωωc n
=γtg越-1大2ζω反ω，cn之σ=亦%tg-然1越4ζ。小4+2ζ；1 -2ζ 2
80
50
60
闭环传递函数为： ωc
0 -20
ωc
ω
-φ20(dsB)可=/1d近+ecωs似的sc 认直=ω为1线c s1整。+1个曲线t是s≈3一T条=ω斜3c 率为
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(2) 中频段的斜率与动态性能的关系
设系统如图:
L(ω ) dB
开环传递 函数：
G(s)≈
K s2
=ωs2c2
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3 ．高频段
一般 L(ω )=20lg|G(jω )|<<0
即
|G(ωj )|<<1
φ|
(ωj
)|=
|G(ωj )| |1+G(ωj )|
≈ |G(ωj )|
高频段反映了系统对高频干扰信号的
抑制能力。高频段的分贝值越低，系统的
抗干扰能力越强。高频段对应系统的小时
间常数，对系统动态性能影响不大。
M0
(1) 零频幅值Mo
0.707M(0)
(((432ω幅)M程))M=带频谐谐o度0=o谐的=宽最1振振闭上幅M时振闭频大频峰环反频(，峰ω环率值率值峰映值)输值=幅ω与ωM值了M降出反br值Mr零系出(到与0映γ频)=统现0输了.幅7的时MM入0系值M7m快的o相M统(之0速频ω0等的时b比性率)，相=的。。。0ω没对.频r7在0有稳率ω7一bM误定。定0差性的。ω
可求=得(1- ωωn22M)1+γ=j2Mζ mω=ωn =2ζM1(1ω-2)ζe2jα(ω)
第四节 用频率特性法分析系统性能
由上述分析可见：
对于二阶系统，当0 ≤ζ ≤ 0.707时，幅 频特性的谐振峰值Mr与系统的阻尼比ζ有 着对应关系，因而Mr反映了系统的平稳 性；再由ts=3 /ζωn推知，ωr 越大，则ts越 小，所以ωr反映了系统的快速性。
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一 、开环频率特性与闭环系统性能的关系
常将开环频率特性分成低、中、高三 个频段。
L(ω ) dB
低频段 中频段
高频段
-40dB/dec
0
ω1
ωc ω2
-20dB/dec
ω
-40dB/dec
三个频段分别与系统性能有对应关系， 下面具体讨论。
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-180
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二、闭环频率特性与时域指标的关系
根据开环频率特性来分析系统的性能 是控制系统分析和设计的一种主要方法， 它的特点是简便实用。但在工程实际中， 有时也需了解闭环频率特性的基本概念和 二阶系统中闭环频域指标与时域指标的关 系。
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1. 闭环频率特性及频域指标
第四节 用频率特性法分析系统性能
设 M0=1
根据
M(ω)=0.707M0=0.707 可求得
ωb=ωn (1-2ζ2)+ 2-4ζ2+4ζ4
ζ一定的情况下,ωb越大，则ωn越大， ts越小。ωb表征了控制系统的响应速度。
1．低频段
低频段由积分环节和比例环节构成：
G(s)=
K sυ
G(jω)= (ωj Kυ)
可对知数：幅频特性为：
L(ω曲)线=2位0l置gA越(ω高) ，
L(ω ) dB
K值越大=2；0lg低ωKυ频段斜
υ=0 υ=1
率越负=，20积lg分K-环v20节lgω 数 性越能根 图多越据所。好分示系。析的统可结稳得果态如：
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2．二阶系统闭环频域指标与时域指标的关系
M(ω)二= 阶(系1Φ-统ω(ωsn)的22=1)标C+R2(准(sζs))式ω=ωns2+2αζ(ωωωnn)2s=+tgω-1n2
2ζω/ωn 1-ω2/ωn
闭ω环γ=Φ频ω令(n率jω特)=1性-2(jdζω2Md)2(ω+ω2)ζωω0=nn≤02(ζj≤ω0)得.7+0ω7n2
20
γσ=%=1=891=0t08soo0=+e-oω7-ζ-π2φ9c.0t63(ωg1γo8-ζ-co2t)=1=g013-107s(%0.6.=525×o7%6.3)
0 -20
0
-90
-
L(ω
φ (ω
20 θc(s)
s(0.5s+1)
) dB
-20dB/dec
ωc
2
)
γ
ω
-40dB/dec
ω
ζ=γ/100=0.176
ω
-20
-40dB/dec
φ (ω )
0
ω
-90
γ
-180
平稳性: σ% γ
快速性: ts ωc
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(1) 相位裕量γ和超调量σ% 之间的关系
Aω( )=ωcωc2ω+(n22ζωn )2=1 得 ωc4+4ζ ω2 n2ωc2-ωn4=0
0<ζ< 0.707近似为
γ (ωc)=100ζ
0
-20υ ν
K
υ=2 K
Kω
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2. 中频段
反穿映越了穿频系越率统频ω动率c 反态ωc映响附了应近系的的统平区响稳段应性为的和中快快频速速段性性。。。它
(1) 穿越频率ωc与动态性能的关系
设系统如图:
开环传递 函数：
G(s)≈
Ks =ωsc
L(ω ) dB
+20
-20dB/dec
调节时间 ts 与ωc以及γ有关。γ不 变时，穿越频率ωc 越大，调节时间越 短。
第四节 用频率特性法分析系统性能
例 分析随动系统的性能，求出系统的频
域指标ωc、γ和时域指标σ%、 ts。
随动系统结构如图 θr(s)
可解ω得：n：= 04ζ.2G5ω40+(ωsc12)≈c=-12ζs(02ω.=25c60s=.+561.3)
闭环传递函数为
Φ(s)=
G(s) 1+G(s)
闭环频率特性：
Φ(jω)=
G(jω) 1+G(jω)
=M(ω)ejαω
已知G(jω)曲线上的一点，便可求得
Φ(jω)曲线上的一点，用这种方法逐点绘
制出闭频率特性曲线。
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闭环幅频特性曲线
系统的闭环频率
M(ω)
指标主要有：
Mm