2 mZ K 2 m x Km x
2
2
2
Z Kx
和差函数
Z x1 x2 xn
线性函数
mZ m n
Z k1 x1 k 2 x2 k n xn
2 2 2 2 mZ k12 m12 k 2 m2 kn mn
算术平均值
任何评定观测值的精度，即： =？ m=？ 寻找最接近真值的值x
集中趋势的测度（最优值）
中位数：设把n个观测值按大小排列，这
时位于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n个数中，重复出现次数最多的 数就是“众数”。
切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。
算术平均数：
l

l
i 1
x x nmx
这样表示的含义是：x 是最佳值；误差超过 nmx 的概率是很小的。
19
关于置信度与不确定度
测量值在某区间内的概率称为测量结果的置信
概率或置信度。 极限误差Δ 常称为测量结果的不确定度，通常 取 Δ ＝ σ，2σ，3 σ 置信系数 1.0 2.0 3.0 置信限 1.0 σ 2.0 σ 3.0 σ 置信概率 0.6827 0.9544 0.9973
n
i
n
x
满足最小二乘原则的最优解
精度（中误差）计算方法
一、已知真值X，则
真误差
一、真值不知，则
i X li
二、中误差
[ l ] x n vi x li
二、中误差
[] m n
[vv] m n 1
相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
误差传播定律的应用
例 量得 1 : 1000地形图上两点间长度 l=168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：
解： 列函数式 中误差式

S 1000 l
2 mS 1000 2 ml2
即 mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m S 168.5m 0.2m
2
观测值函数中误 差公式汇总
观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差
一般函数
Z F ( x1 , x2 , , xn )
倍数函数
F 2 F 2 F 2 mZ m m x 1 x 2 x mn 1 2 n
31
习题 如图所示的弧形半径需要精确量， 已知： 2
b h R f (b, h) 8h 2
设已测得b=15mm σb=0.7μm; h=1.46mm σh=0.5μm 求R, R
不等精密度测量的数据处理
一般测量实践基本上属于等精密度测 量的问题，有时为了得到更精确的结果 ，往往在不同的测量条件下，用不同的 仪器，不同的测量方法,不同的测量次数 以及不同的测量者进行测量与对比，这 就是不等精密度测量。
误差传播定律的应用
例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02m，
求矩形的面积中误差mp。
P ab
2
m p b m a a mb
2 2 2
2
( 400 0.02) (500 0.02)
2
2
8 10 12.8m
2
2
三 间接测量的数据处理
另一次测量值1 m ，绝对误差5mm， 哪一次测量误差小？
第一次的相对误差1％，第二次的相对误差 0.5％
引用相对误差（满度相对误差）
用来表示仪器的准确程度。例如电工仪表
准确度等级 ±0.1,±0.2,±0.5,±1.0,±1.5,±2.5,±5.0 就是引用相对误差的百分比。
例2，±1.5级的100mA的电流表在50mA处 误差1.4mA,是否合格？
重视程度
准确度《精密度《相对精密度
12
绝对误差与相对误差*

因为只对u偏离A多少感兴趣，因此定义 |x| 为绝对误差，那么A= u±|x|, 相对误差（η ）表明测量值偏离真值的相 对程度。用％表示。显然相对误差比绝对 误差更直接地表明了测量的精确程度。
例1，一次测量值10cm，绝对误差1mm；
my
[ y y ] n
一般函数的中误差公式——误差传播定律
设有函数
二.误差传播 定律
Z f ( x1 , x2 , xn )
2 2
xi为独立观测值
2
f 2 f 2 f 2 mz x mx 1 x mx2 x mxn 1 2 2
4 偶然误差绝对值不会超过一定程度
基本理论
测量误差的性质与分类
(2) 系统误差( system error ) ： 性质：有规律，可再现，可以预测
原因：原理误差、方法误差、环境误差、使用误差
处理：理论分析、实验验证→ 修正 (3) 粗大误差( abnormal error ) ： 性质：偶然出现，误差很大，异常数据，与有用数据混在一起 原因：装置误差、使用误差 处理：判断、剔除
研究误差的目的
世界是未知的。 根据掌握的有限次测量的结果，对真值进行
估计，或者判断测量结果的合理性。
1.观测值为 l1,l2,l3,….ln 如何取值？如何评价数据的精度？
2.观测值为 X1,X2， 如何评价数据的合理性？测量有无粗差？
真值如何找到？精度如何描述
但大多数被观测对象的真值不知，
练习
在等精度条件下，对某距离用钢尺丈量了
四次，观测值分别为 120.031,120.025,119.983,120.041，计算 其算术平均值、单次测量值的中误差、算 术平均值的中误差。(单位米)
21
误差传播定律
已知：mx1,mx2,……mxn 求：my=?
y=?
设有函数式： y f ( x1 , x2 ...)
例 取圆弧的圆心为坐标原点，已知 圆弧上一点的坐标值（x,y）,求圆弧 的半径R。 数据处理步骤：
1,列出间接测量与直接测量值 R x2 y 2 的函数关系，由几何关系得： 2, 列出直接测量的结果： x = 5.02±0.005mm, y = 8.98±0.007mm
3, 计算间接测量值（由平均值求平均值）
Δx – 测量误差 x – 测量结果 x0 – 真值 如：三角形内角和180°
1m=1 650 763.73 λ
(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)
相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 标准仪器的测量标准差< 1/3 测量系统标准差
2
→ 检定
基本理论
测量误差的来源
(1) 装置误差： 测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声 (2) 环境误差：测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，
R 5.022 8.982＝ 10.3mm
4，计算误差传递函数（由平均值计算）
R Cx x x x2 y 2 = 5.02/10.3 = 0.487
R Cy y
y x y
2 2
=8.98/10.3 = 0.872
5, 计算间接测量值的极限测量误差
2 2 R Cx 2 2 C x y y
x n l l l
1 n 1 1 n 2
l
1 n n
mX
m n
误差传播定律的应用
算术平均值
l1 l2 ln x n
已知：m1 =m2 =….=mn=m
1 1 1 求：mx dx dl dl dl 1 2 n n n n 1 2 2 1 2 2 1 2 2 mx ( ) m1 ( ) m2 ( ) mn n n n 1 m n
误差理论与数据处理

测量误差的基本理论
误差定义、来源、分类、测量精度

数据处理的一般方法
算术平均法、最小二乘法、一元线性回归….
1
基本理论
测量误差的定义
定义： 测量结果与其真值的差异 定性概念，定量表示
x x x0
真值： 被测量的客观真实值
理论真值： 理论上存在、计算推导出来 约定真值：国际上公认的最高基准值 如：基准米
一 “权”的概念
等精密度测量中各个测量值可靠程度相同，因此 取算术平均值为最佳值，而不等精密度测量中各个测 量值可靠程度不相同，因而不能简单地取算术平均值 为最佳值。应使可靠程度大的数据在最后结果中占的 比例大一些，可靠程度小的数据在最后结果中占的比 例小一些。各个测量值可靠程度可以用一数值表示， 这数值称为该测量值的“权”，以P表示。 因此“权”可以理解为当测量值进行比较时，对 各测量值的信赖程度。 “权”只有相对的意义。
(3) 使用误差： 读数误差、违规操作、 3
原理误差： 测量原理和方法本身存在缺陷和偏差
近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关 方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误
基本理论
测量误差的性质与分类
设仪表等级为s ，满度值x m 被测真值
A，则测量的绝对误差

相对误差
误差结果描述
准确度(测量成果与真值的差异，反映系统误 差） 精（密）度（观测值之间的离散程度，反映 随机误差）
精准度（同时考虑测量结果的准确度和精密度）