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空间中的翻折问题
考情调研
考向分析
将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，
又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综 1.翻折后空间关系的证明． 合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题 2.翻折中的探索性问题.
答案：D
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2．(2019·泰安模拟)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H 为所在棱 的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与 PRQ 所在平面平行的是( )
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[题后悟通] 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
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∴MH＝ 1＋x x2＝ 面 ABCE，
1≤ x＋1x
22，当且仅当
x＝1x，即
x＝1
时等号成立，此时
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2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
第2讲 空间位置关系的判断与证明
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空间线、面位置关系的判断
考情调研
考向分析
主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和 1.空间线面位置关系的判断．
求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的 2.异面直线所成角．
形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理 3.线面角.
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2．用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角； 如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
1 A.2
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2 B. 2
6 C. 3
D．1
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解析：由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥 D′-ABCE 中，底 面 ABCE 为边长是 1 的正方形，侧面 D′EA 中，D′E⊥AE，且 D′E＝AE＝1. ∵AE⊥D′E，AE⊥CE，D′E∩CE＝E， ∴AE⊥平面 D′CE. 作 D′M⊥CE 于 M，作 MN⊥AB 于 N，连接 D′N， 则由 AE⊥平面 D′CE，可得 D′M⊥AE， ∴D′M⊥平面 ABCE. 又 AB⊂平面 ABCE， ∴D′M⊥AB.
C 中，如图，作截面可得平面 PQR∩平面 HGN＝HN.
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D 中，如图，作截面可得 QN，C1M 为两相交直线，因此平面 PQR 与平面 A1MC1 不平 行．
答案：A
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解析：(1)证明：由底面 ABCD 为矩形，知 AD⊥CD. 又因为 DE⊥AD，DE∩CD＝D, 所以 AD⊥平面 CDE. 又因为 CE⊂平面 CDE， 所以 AD⊥CE.
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4．(2019·湘潭模拟)已知四棱锥 P-ABCD 的底面边长都为 2，PA＝PC＝2 3，PB＝PD， 且∠DAB＝60°，M 是 PC 的中点，则异面直线 MB 与 AP 所成的角为________． 解析：如图所示，连接 AC 与 BD 相交于 N，则 MN∥PA， 根据异面直线所成角的定义，可得 MB，AP 所成的角为∠NMB 或∠NMB 的补角，由题意，在△MNB 中，NB＝1，MN＝ 3， BN⊥MN，则 tan∠NMB＝MNBN＝ 33，所以∠NMB＝30°. 答案：30°
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(3)结论：线段 BE 上存在点 Q(即 BE 的中点)，使得平面 ADQ⊥平面 BCE.
证明如下：
取 CE 的中点 P，BE 的中点 Q，连接 AQ，DP，PQ，则 PQ∥BC.
由 AD∥BC，得 PQ∥AD.
所以 A，D，P，Q 四点共面.
解析：A 中，因为 PQ∥AC∥A1C1，所以可得 PQ∥平面 A1BC1，又 RQ∥A1B，可得 RQ∥平面 A1BC1，从而平面 PQR∥平面 A1BC1 B 中，如图，作截面可得平面 PQR∩平面 A1BN＝HN.
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型.
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[题组练透] 1．(2019·东三省三校模拟)如图，直角梯形 ABCD，∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝ 1，E 是边 CD 的中点，△ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 D′-ABCE，则点 C 到平面 ABD′ 距离的最大值为( )
解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化
归的思想.
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[题组练透]
1．(2019·乌鲁木齐质检)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，以下四个命题：①若 α
∥β，则 l⊥m；②若 α⊥β，则 l∥m；③若 l∥m，则 α⊥β；④若 l⊥m，则 α∥β，其中
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空间线面平行、垂直关系的证明
考情调研
考向分析
直线、平面平行、垂直的判定及其性质是高考中的重
点考查内容，涉及线线、线面、面面平行与垂直的判 1.线面、面面平行关系的证明．
定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现， 2.线面、面面垂直关系的证明.
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[题后悟通] 1．判断与空间位置关系有关命题真假的 3 种方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判 断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结 合有关定理，进行肯定或否定． (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相 矛盾的命题，进而作出判断．
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由(1)，知 AD⊥平面 CDE， 所以 AD⊥DP，故 BC⊥DP. 在△CDE 中，由 DC＝DE，可得 DP⊥CE. 又因为 BC∩CE＝C， 所以 DP⊥平面 BCE. 又因为 DP⊂平面 ADPQ， 所以平面 ADPQ⊥平面 BCE(即平面 ADQ⊥平面 BCE)． 即线段 BE 上存在点 Q(即 BE 中点)，使得平面 DQ⊥平面 BCE.3
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2．(2019·张家口、沧州模拟)已知直线 a，b 和平面 α，a⊂α，则 b⊄α 是 b 与 a 异面的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意，若直线 b 不在平面 α 内，则 b 与 a 相交或 b∥a，不一定有 b 与 a 异面， 反之，若 b 与 a 异面，一定有直线 b 不在平面 α 内，即 b⊄α 是 b 与 a 异面的必要不充 分条件．故选 B.
3．(2019·北京西城区模拟)如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为矩形，侧面 ADEF 为梯形，AF∥DE，DE⊥AD，DC＝DE.
(1)求证：AD⊥CE；
(2)求证：BF∥平面 CDE；
(3)判断线段 BE 上是否存在点 Q，使得平面 ADQ⊥平面 BCE？并说明理由．
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正确的两个命题是( )
A．①与②
B．③与④
C．②与④
D．①与③
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解析：对于①，因为直线 l⊥平面 α，α∥β，所以直线 l⊥平面 β，因直线 m⊂平面 β， 所以 l⊥m，故①正确；对于②，l 与 m 异面、平行或相交，故②错误；对于③，因为 直线 l⊥平面 α，l∥m，所以 m⊥α，而 m⊂β，所以 α⊥β，所以③正确；对于④，当 直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，l⊥m 时，α、β 平行或相交，故④错误，综上，① 与③正确，故选 D.