y2 ( x 0 )( x 2 ) ( 1 0 )( 1 2 ) 2
上页 下页 返回
x1
例1 *
设 f ( 0 ) 1 , f (1 ) 2 , f ( 2 ) 4 . 1 .求 f ( 0 . 8 ); 2 .若 f ( x ) 3 , 求 x .
0 0 ( n1)
1
1
1
1
2
x
x
0
1
0
f
( n 1)
) ( n ) 0( x ) L(nn 1 )(xx)0 K )( n x ) ! Rnn 1 ) ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( ( (x 1 (n) ( a , b ) 使得 ( ) 0 存在
2
且唯一的条件
.
解： 设P ( x ) ax bx c，则P ( x ) 2ax b. 由已知条件有
2 ax 0 bx 0 c y 0 2 ax 2 bx 2 c y 2 2ax b y 1 1
故原问题的唯一可解性 就归结为上述方程组的 唯一可解性而 . x0 后者唯一可解的充要条 件为
l k 1 ( x k 1 ) 1定出， A
( x x k )( x x k 1 ) ( x k 1 x k )( x k 1 x k 1 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ，
( x k x k 1 )( x k x k 1 )
K ( x)
f ( n 1) !
( n 1 )
( x )
Rn ( x )
f
( n1)
( x )
( n 1) !
(x x
i0
n
i
)
上页 下页 返回
余项表达式只有在
f ( x ) 的高阶导数存在时才能
应用 .
由于 在 ( a , b )内的具体位置通常不能 max f
当n 2时，抛物插值的余项为 R2 ( x ) 1 6 f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x 2 )， [ x0 , x 2 ]
上页 下页 返回
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f ( n 1 ) ( x ) 0 , 可知 R n ( x ) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的.
例1 求经过A(0, 1)，B(1, 2)，C(2, 3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
x 0 0， y 0 1； x 1 1， y 1 2； x 2 2， y 2 3 .
由抛物插值公式得 L2 ( x ) ( x x 1 )( x x 2 ) ( x 0 x 1 )( x 0 x 2 ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) ( x 1 )( x 2 ) ( 0 1 )( 0 2 ) ( x 0 )( x 1 ) ( 2 0 )( 2 1 ) 1 3 y0 ( x x 0 )( x x 2 ) ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) y1
点 x k 及 x k 1，所以可表示为 系数，可由条件
lk 1 ( x ) 同理， l k ( x )
: l k 1 ( x ) A ( x x k )( x x k 1 )， A 为待定 1 ( x k 1 x k )( x k 1 x k 1 ) ，于是
也是线性插值多项式，
在节点满足条件：
l k ( x k ) 1， l k ( x k 1 ) 0； .
l k 1 ( x k ) 0， l k 1 ( x k 1 ) 1 . 称 l k ( x ) 及 l k 1 ( x ) 为线性插值基函数
2、抛物 插值
用抛物线 y L 2 ( x ) 近似曲线 y f ( x )， L 2 ( x ) 称为二次插值多 项式，可用基函数方法 得到 : L 2 ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) .
2 2
x0 x2 1
1 1 0 0 x1 x0 x2 2 ( x 0 x 2 0) 即
x2
2 x1 2 x1 ( x 0 x 2 ) ( x x ) 0
2 0 2 2
所以
上页 下页 返回
这就是P ( x ) 存在且唯一的条件 .
注：本题还有更适用的方法.
例 2 * 若 f ( 0 ) － 2 , f ( 1 ) 0 , f ( 2 ) 18 , f ( 3 ) 88 , f ( 2 ) 36 . 1 .求 f ( x )的四次插值多项式 2 .求 f ( 1 )的近似值 . P 4 ( x );

n
yk
n1 ( x )
( x x k ) n 1 ( x k )
上页 下页 返回
k0
三、插值余项与误差估计 n f C [a , b ] , 设节点 a x 0 x 1 x n b ，且 f 满足条件 (n1) f 在[a , b]内存在, 考察截断误差 R n ( x ) f ( x ) L n ( x ) (也称为插值多项式的余项). n Rn ( x) x Rn(x) 至少有 n+1 个根x ) 充分光滑，K ( x) ( ( xi)) 0 ，则 ( x 0 ) x1 罗尔定理： 若 ( i 0 n ( ) …, n), 0 。 ( t ) R ( t ) K ( x ) ( x , x ) (i = 存在 注意这里是对0, 求导 考察 任意固定 0x 1xi 使得t (t xi ) n i0 ( x , x ), ( x , x ) 推广：若 ( x 0 ) ( x 1 ) ( x 2 ) 0 (x)有 n+2 个不同的根x0) …0xn x ( , ) 使得 0(, ) 0 ( a , b ) ( ) 使得 ( ) (
上页 下页 返回
§2 拉格朗日插值
一、线性插值与抛物插值 1、线性插值
用直线 y L 1 ( x ) 近似曲线 y f ( x )， L 1 ( x ) )，可用
称为线性插值多项式 两点式直线方程直接给 L1 ( x ) x k 1 x x k 1 x k
( polynomial 出 yk
( k 0， ， , n ) 1
引入记号 n 1 ( x ) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n )，将其对 x 求导后 令 x x k，得 n 1 ( x k ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n ), 于是，拉格朗日插值多 Ln ( x ) 项式可改写为
上满足条件：
设基函数 l k 1 ( x )、 l k ( x ) 及 l k 1 ( x ) 是二次函数，且在节点 1 li ( x j ) 0 (i j) (i j) ( i ， j k 1， k ， k 1 )
满足条件的插值基函数
容易求出，例如求
l k 1 ( x )，由于它有两个零
第二章 插值、逼近与拟合（一）
第一节 第二节
第三节
实际问题的导入 拉格朗日插值
牛顿插值
上页 下页 返回
§1 实际问题的导入
插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法 . 如飞机、船舶的设计、制造，桥梁的设计、建造等 . 插值法的定义： 设函数 y = f (x) 在区间[a, b]上有定义，且已知在点a ≤ x0 < x1 < … < xn ≤ b 上的值 y0, y1 , … , yn,若存在一简单函数 P(x),使 P(xi ) = yi (i = 0,1,…,n) 成立，就称P(x) 为 f (x) 的插值函数,点 x0, x1 , … , xn 称为插值节 点,区间[a, b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法. 上页 若P(x)为多项式时，就称为多项式插值.同理，有有理分式 下页 插值、三角插值等.
上页 下页 返回
项式 l j ( x ) ( j 0， ， , n ) 为节点 x k ( k 0， ， , n ）上的 n 次插值基函数 1 1
n 1 , n 2 即为线性和二次插值基 到 n 次插值基函数为 lk ( x )
函数，用类似的推导方
法，可得
( x x 0 ) ( x x k 1 )( x x k 1 ) ( x x n ) ( x k x 0 ) ( x k x k 1 )( x k x k 1 ) ( x k x n )
x xk x k 1 x k
yk 1
L 1 ( x ) 是由两个线性函数 lk ( x ) x x k 1 x k x k 1 ， lk 1 ( x ) x xk x k 1 x k 的线性组合得到， l k ( x )及 l k 1 ( x )
上页 下页 返回
返回
插值法的几何意义： 求曲线 y = P (x) ，使其通过给定 的n+1个点(xi , yi )， i = 0,1,…,n，并用 它近似已知曲线 y = f (x) .
定理1 在次数不超过n次的多项式集合Hn中，满足插值条件 P(xi)=yi (i=0,1,2,……,n) 的插值多项式存在且唯一.

n
y k l k ( x ) ，称为拉格朗日 .
k0