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数值分析第二章 插值法


在有些情况下,虽然可以写出函数 f ( x ) 的解析表达式, 但由于结构相当复杂,使用起来很不方便。面对这些情况, 总希望根据所得函数表(或结构复杂的解析表达式),构造 某个简单函数 P( x ) 作为 f ( x ) 的近似。
插值法是解决这类问题的一种比较古老,然而却是目前 常用的方法,它不仅直接广泛应用于生产实际和科学研究 中,而且也是进一步学习数值分析计算方法的基础。
y L1(x)的几何意义就是通过两点(xk , yk )与(xk1, yk1)的直线,
如上图所示,L(1 x)的表达式可由几何意义直接给出:
y
y L1(x)
Байду номын сангаас
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x xk 1
L1 (x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )
L1 (x)
xk1 x xk1 xk
lk1 (x)是二次函数,且在节点上满足: lk1 (xk1 ) 1.lk1 (x j ) 0. (j=k-1,k)
lk (xk ) 1.lk (x j ) 0
(j=k-1,k+1)
lk1 (xk1 ) 1.lk1 (x j ) 0 (j=k,k+1)
满足条件(8)的插值基函数是容易求出的。例如lk1 (x).有两个零点xk1 xk .故可表示为:lk1 (x) A(x xk1 )(x xk )其中A为待定系数,由条件 lk1 (xk1 ) 1可得:
pn (x) a0 a1x a2 x2 an xn
(2)
使 pn (xi ) yi
其中 a0a1 an 为变数
xi , yi意义同前
(3)
满足插值条件(3)的多项式(2)称为函数 f(x)在节点 xi(i=0,1
…n )处的n次插值多项式。 求函数 f(x) 的n次插值多项式的几何意义是:
a0a1 an 得到。但这样做不但计算复杂,而且难于得到
P(x)的简单表达式。为求得便于使用的简单插值多项式 p(x),我们
先讨论n=1的情形。
假定已知区间 xk , xk1 的端点处的函数值 yk f (xk ), yk1 f (xk1)
要求线性插值多项式 L1 (x)。满足: L1 (xk ) yk , L1 (xk1 ) yk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
(点斜式) (两点式)
由两点式可看出, L1 (x)是由两个线性函数
lk (x)
x xk1 xk xk 1
lk1 (x)
x xk xk 1 xk
(6)
的线性组合得到的。其系数分别为 yk 及yk1,即:
L1 (x) yk lk (x) yk1lk1 (x)
1 x0 x02 x0n
1 vn (x0 , x1,xn )
x1
x12
x1n
1 xn xn2 xnn
(5)
不为零,式中 vn (x0 , x1 xn )称为范德蒙(Vandermonde)行列式。
利用行列式性质可得:
n i1
vn (x0, x1xn )
(xi x j )
i1 j0
通过曲线y=f(x)上的n+1个点( xi , yi )(i=0,1…n)作一条n次代数
曲线y= pn(x)作为曲线 y= f(x)的近似。如下图。
y
y0 y1
0 a x0 x1
yn
xn b x
设p(x)是形如(2)的插值多项式,用 Hn 代表所有次数不超过n的
多项式集合,于是p(x) Hn ,所谓插值多项式p(x)存在唯一,就是
(7)
lk
(
x),l
k
1
(
x)也是线性插值多项式,在节点xk
及xk
上满足条件:
1
lk (x) 1.lk (xk1 ) 0, lk1 (xk ) 0, lk1 (xk1 ) 1.
我们称函数lk (x)及lk1 (x)为线性插值基函数。见下图:
y 1
lk (x)
0
xk
xk 1 x
y 1
lk1 (x) 0 xk
xk 1
x
下面讨论n 2的情形。
假定插值节点为xk1, xk , xk1,要求二次插值多项式L(2 xi ) yi (i k 1, k,
k 1)
几何上y L2 (x)就是通过三点(xk1, yk1 ).(xk , yk ),(xk1, yx1 )的抛物线。
为了求出L2的表达式,可采用基函数方法,此时基函数lk1 (x),lk (x)及
插值函数类Φ的取法不同,所求得的插值函数 p(x)逼近f(x)的效果就不同。而它的选择主要取决 于使用需要。常用的代数多项式、三角多项式和有 理函数等。
当选用代数多项式作为插值函数时,相应的插值问题就称为多项式 插值。本章讨论的即为此类问题。
在多项式插值中,最常见、最基本的问题是:
求一个次数不超过n的代数多项式:
指在集合H n中有且只有一个p(x)满足(3)。由(3)得:
a0 a0
a1 x0 a1 x1
a2 x02 a2 x12
an x0n an x1n
y0 y1
(4)
a0
a1xn
a2
x
2 n
an xnn
yn
这是一个关于a0a1 an的n+1元线性方程组。
要证明插值多项式存在且唯一,只要证明方程组(4)存在唯一的解, 也就是证明方程组(4)的系数行列式
设 y f (x)在区间 [a,b] 上连续,且在 n 1个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为 y0 , y1, , yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中,求一简单函数 P(x),使 P(xi ) yi (i 0,1,L , n) (I ) 而在其它点 x xi 上,P(x)作为 f (x) 的近似。
由于 i j 时 xi x j,故所有因子 xi x j 0 ,于是 vn (x0 , x1,xn ) 0
故方程组(4)存在唯一的一组解 a0 , a1 an. 由此有结论: 定理1: 若节点 x0、x1xn 互不相同,则满足插值条件(3)的n
次插值多项式(2)存在且唯一。
由定理1的证明可见,要求插值多项式 p(x),可以通过求方程 组(4)的解:
在生产和科研中出现的函数是多种多样的,常遇到这样的
情况:在某个实际问题中,虽可断定所考虑的函数 f (x) 在区间 [a , b ]上存在且连续,但却难以找到它们的解析表达式,只能通 过实验和观测得到在这有限个点上的函数值(即一张函数表)来 分析函数 f (x ) 的性态,甚至直接求出其它一些点上的函数值可 能是十分困难的。
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