2F 2 ⋅ 3l 8
2F 2 ⋅ l
×2+
4=
7lF 2
2EAi π E(2d )2
π Ed 2 8π Ed 2
（c）取 d x 长的微段（如右图），在均布轴力 f 的作用下，它具有的应变能
dVε
=
1 2
FN (x)dΔ
式中
FN (x)
=
F l
x,
dΔ = FN (x)dx = Fx dx EA EAl
=
Vε
(F
)
+
Vε
(M
)
+
1 2
(Mθ
+
Fwmax
)
。
11-2 图示简支梁中点只承受集中力 F 时，梁的最大转角为θ max ，应变能为Vε (F ) ；中 点只承受集中力偶 M 时，最大挠度为 wmax ，梁的应变能为Vε (M ) 。当同时在中点施加 F
和 M 时，梁的应变能为多少？
解 对于线性结构简支梁，先加 F 时梁贮存的应变能
（顺）
（二）单位载荷法解(a)
(a3)
(a4)
(a5)
149
解 图（b）
FA
=
FB
=
Me 2a
AD 段
M (x1 ) =
Me 2a
x1 ， M 1(x1 ) =
x1 ， M
2 (x1 ) =
− x1 2a
DC 段
M (x2 ) = M e ， M 1(x2 ) = 2a − x2 ， M 2 (x2 ) = −1
11-5 超静定问题有哪几类？怎样确定超静定问题的次数？什么是相当系统？什么是静 定基？静定基是否唯一？
答 超静定问题有外约束超静定、内约束超静定及外约束超静定加内约束超静定混合。 全部未知力个数与全部独立平衡方程数的差就是超静定问题的次数。 拆去多余内、外约束，用相应的约束力代替其作用，使之成为静定形式的结构，它就 是原结构的相当系统（相当系统加上变形协调条件称为原超静定结构的等效系统）。 解除约束后的不包括外载荷的静定结构称为原结构的静定基。 静定基不唯一。
第 11 章 能量法
思考题
11-1 你能说出哪些广义力与相应的广义位移？ 答 广义力有集中力，集中力偶，一对等值、反向的力或力偶； 集中力相应的广义位移为线位移，集中力偶相应的位移为角位移，与一对大小等值、反 向的力（或力偶）相应的位移为相对线位移（或相对角位移）。
11-2 什么是常力功？什么是变力功？什么是线弹性体？线弹性体的应变能如何计算？ 答 常力功指作功力在作功过程中力的大小几乎不变化；
梁上均布载荷(q)，作用在物体表面上的均布压力 p 对应的广义位移各是什么？
答 与集中力 F，集中力偶 M，梁上均布载荷 q，梁上均布载荷(q)，作用在物体表面上
的均布压力 p 对应的广义位移依次分别是线位移 w，角位移θ ，相对线位移或相对角位移，
∫ ∫ 线位移曲线与初始位置之间的面积W = l 1 (qdx)w(x) = 1 q l w(x)dx （线性梁）、体积改
Fx2
)(−
x2
)dx2
( ) = a 6EI
2Fal + M el + 2Fa2
∫ ∫ θ A
=
∂Vε ∂M e
=
l 0
M (x1
EI
)
⋅
∂M (x1
∂M e
)
dx1
+
a 0
M (x2
EI
)
⋅
∂M (x2
∂M e
)
dx2
147
∫ ∫ = 1 EI
l ⎜⎛ 0⎝
Me
− l
Fa
x1
−
Me
⎟⎞⎜⎛ ⎠⎝
以不同）有
此即位移互等定理。
Δ12 = Δ21
克拉贝依隆原理：线弹性体的应变能等于每一个外力与其相应位移乘积的二分之一的总
和。
都只适用于线弹性体。
11-4 运用莫尔定理时，如何建立单位力系统？怎样确定所求位移的实际方向？ 答 在原结构上除去全部外载荷，在欲求位移（或相对位移）处加上与位移相应的广义 单位力（或一对单位力），所的系统就是单位力系统。 若求出的位移为正，则位移的实际方向与假设的单位力方向一致，否则相反。
d
y2
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ΔAH
=
∂Vε ∂F
F =0
=
⎡ ⎢⎣
2a 2 M e 0 2a
x2 d x +
a
0 2M e (2a − y1 ) d y1 +
a
2
0
⋅
0
⋅
y2
d
y2
⎤ ⎥⎦
= 17M ea 2 (→) 6EI
（2）求截面 B 的转角θ B
B 处虚加力偶矩 M B ，刚架的应变能
Vε
=
1 2EI
1 2
Mθ M
= Vε (M )
再加 F 时，梁再贮存的应变能
1 2
FwF
+
Mθ (负值)
= Vε (F )
+
Mθ
同时施加 F，M，梁贮存的应变能与加载次序无关，即
Vε (F , M ) = Vε (M ) + Vε (F ) + Mθ
由功的互等定理知： Mθ = Fwmax ，即也有
Vε
(F
,
M
)
，
∂M (x2
∂F
)
=
−
x2
，
∂M (x2
∂M e
)
=
0
∫ ∫ wC
=
∂Vε ∂F
=
l 0
M (x1
EI
)
⋅
∂M (x1
∂F
)
dx1
+
a 0
M (x2
EI
)
⋅
∂M (x2
∂F
)
dx2
∫ ∫ = 1 EI
l ⎜⎛ 0⎝
M
e
− l
Fa
x1
−
M
e
⎟⎞⎜⎛ − ⎠⎝
a l
x1
⎟⎠⎞dx1
+
1 EI
a 0
(−
1 2
FwF
= Vε (F )
再加M时，由于反对称载荷，梁中点的挠度仍为wF，梁再
贮存的应变能
1 2
Mθ M
= Vε (M )
则同时施加，应变能与加载次序无关，即
Vε (F , M ) = Vε (F ) + Vε (M )
*11-3 根据功的定义，与集中力 F，集中力偶 M，一对等值、反向的集中力或集中力偶，
q A
l
q A
x1 l
11-7 图示外伸梁的弯曲刚度 EI 已知，求外伸端 C 的挠度 wC 和左端截面 A 的转角θ A 。
解 AB 段
M (x1 ) =
FA x1
−
Me
=
Me
− l
Fa
x1
−
Me
∂M (x1 )
∂F
=
−
q l
x1 ，
∂M (x1 )
∂M e
=
x1 l
−1
BC 段
M
(x2
)
=
−
Fx2
( ) wB
=
wB
(FA
)
+
wB
(FB
)
=
5Fa3 12EI
−
Fa3
3× (2EI
)
=
Fa3 4EI
↓
11-10 图示刚架的 EI 为常量，求截面 A 的位移和截面 B 的转角。轴力和剪力对变形的 影响可略去不计。
(a)
2a
F
A
A
x
x
Me
FB Me + F 2a
Me + F
Me
2a
MB
B
1 2a
(M
杆的应变能
Vε
=
∫
l 0
d Vε
=∫
l 0
1 2
⋅
Fx l
⋅
Fx EAl
dx
=
F 2l 6EA
（d）与（c）同理，得杆的应变能
Vε
=
∫
l 0
d Vε
=
∫
l 0
1 2
FN
(x) dΔ
=
1 2
∫
l 0
F (1 +
x) l
F (1 + EA
x )
l
d
x
=
7F 2l 6EA
11-5 求切变模量为 G 的图示受扭圆轴的应变能 (d 2 = 1.5d1 ) 。
144
习题
11-1 图示的悬臂梁，设其自由端只作用集中力 F 时，θ 为 F 作用时自由端转角，梁的 应变能为Vε (F ) ；自由端只作用弯曲力偶 M 时，wmax 为 M 作用时自由端挠度，梁的应变能 为Vε (M ) 。若同时施加 F 和 M，则梁的应变能为多少？
解 对于线性结构的悬臂梁，先加 M 时，梁贮存的应变能
M (θ ) = 1
由莫尔定理
θ AB
=
1 EI
∫
π
MM
0
Rdθ
=
1 EI
∫
π
M
0
(θ
)Rdθ
11-9 求图示变截面梁在 F 力作用下截面 B 的挠度和截面 A 的转角。
a 解 迭加法
( ) wB
=
wB
(F
)
+
wB