2.两端铰支压杆临界平衡时的微弯挠曲线方程
nπx y x C2sin l
k （1）当n=1时，

l
，所以
y A sin
x
l
挠曲线为半波正弦曲线
当 n2 时 F cr
l 2
2 EI
2
失稳挠曲线是两个半波正弦曲线 同理，当n =3、4…时可以依此类推。
11.3 不同杆端约束下细长压杆临界轴力的欧拉公式
FN (x)
M (x )
MB 1 ( sin kl l cos kl ) 0 Fcr l k
杆在微弯状态下平衡时，MB不可 能等于零，于是有
FS (x)=FAy
l
x
F Ay=M B/l A F Ax=Fcr
(a) (b)
FAy
y F Ax=Fcr y
tan kl kl
推导
tan kl kl
最小非零解 故 讨论拐点 kl=4.49
2 2 4.49 EI Fcr EIk 2 2 EI l (0.7l )2
M B sin kx y x Fcr l k cos kl
则 解
有
tan kx kl 4.49 kx1 1.35，
x1=0.3l；x2=l。
M (x) = Fcr y(x)
代入挠曲线近似微分方程
EIy M (x)
经整理后得
y k 2 y 0 k 2 Fcr / EI
其中
1.公式推导
y k 2 y 0
二阶齐次线性微分方程的通解为
y C1 cos kx C2 sin kx
边界条件 y( 0 ) = 0 , y( l ) = 0
长度因数μ
Fcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2=10.5l源自 例11.4 欧拉公式适用范围
临界应力总图
Fcr A
一、临界应力与柔度 1.临界应力：中心压杆处于临界状态 且仍在直轴线状态下维持不稳定平 衡时，横截面上的平均应力 cr 。
边界条件：
x 0, y 0,
B0 MB A Fcr kl cos kl
x F cr B MB F By=M B/l y (x ) x
x 0, y 0,
解得
M B sin kx y x Fcr l k cos kl
另，x=l,y=0,得稳定方程
FPcr
2 2 n EI 2 EIk l2
(n=0,1,2,)
(n=0,1,2,)
但n=0时，Fcr=0，无意义。 因此，n的合理最小值是1，于是有 最小临界载荷
欧拉公式的应用条件：
π 2 EI Fcr 2 l
——欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。 注：上式是由两端为球铰支座(各方向的约束条件相同)推出， 因此I应为截面的最小形心主惯性矩，即失稳时，将在刚度最 小的平面内发生弯曲。
一、工程背景
自动翻斗车中的活塞杆也 有类似的问题。
如图示塔吊，立柱承受压力，当 压力过大时，立柱也有可能从直 线的平衡构形变成弯曲的平衡构 形。除此之外，组成塔吊的桁架 中受压力的杆子也可能从直线的 平衡构形变成弯曲的平衡构形， 也就是稳定性问题。
一、工程背景
如图示紧凑型超高压输电线路相间绝缘 间隔棒，当它受压从直线的平衡构形变成 弯曲的平衡构形时是否一定丧失正常功能 呢？这需要经过实验确定，观察在不同的 力的作用下弯曲到什么程度。 如图自动升降工作台， 受压的杆子就存在弹 性稳定问题。
2.极值点失稳 实际压杆总是有缺隐的 (残余应力、初弯曲、荷载有 初偏心等等) 。 曲线GJK是有初挠度d0的 实际压杆的FP-d关系曲线。J 点是极值点，对应荷载FPJ是 极值荷载。当FP=FPJ后,将出 现JK段曲线所反映的实际压 杆的崩溃现象——在荷载值 不断降低的情况下杆件急剧 弯曲，不再能维持其原来的 缩短加弯曲的变形形式。这 种现象叫做极值点失稳。它 总是小于临界荷载。
压杆临界轴力欧拉公式的一般形式
Fcr
π EI
2
l0
2

π EI
2
l
2
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界轴力的欧拉公式
支承情况
两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
Fcr
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
2.对于实际压杆（有缺陷的压杆），稳定性意味着它维持 其缩短加弯曲的变形形式的能力。 由于压杆的失稳常常发生在杆内的应力还很低的时 候，因此，随着高强度钢的广泛采用，对压杆进行稳 定计算是结构设计中的重要部分。
11.2 两端铰支理想细长压杆的临界轴力
一、两端铰支压杆的临界轴力: 1.公式推导 假定压力已达到临界 值，杆已经处于微弯 状态，如图， 从挠曲 线入手，求临界轴力。
y
M ( x) EI
2
FN (x )
M (x )
得
MB y k y x EIl
FS (x )=FAy
l
x
F Ay=M B/l A F Ax=F cr
(a) (b)
FAy
y F Ax=F cr y
k Fcr / EI
2
通解
MBx y A sin kx B cos kx FPcr l
y( 0 ) = 0 y( l ) = 0
1• C1 + 0 • C2= 0 coskl • C1 +sinkl • C2 =0
零解表示未加干扰时杆可在直线位置平衡，但无助于求Fcr 非零解条件 1 coskl 0 sinkl =0
sinkl =0
1.公式推导 sinkl =0 故
kl n
F B
F δ 2k δ
l
A (a)
A (b)
3.弹性平衡稳定性的特征 (1)弹性平衡稳定性是对于原来的平衡形态而言的。 (2)弹性平衡的稳定性取决杆件所受的压力值 稳定平衡 F＜2kL 不稳定平衡 F＞2kL (3)弹性平衡的稳定性与弹性元件的弹簧常数 k 和杆件的长 度L有关。 (4)研究弹性平衡的稳定性，需对结构变形后的形态进行分析。 三、弹性平衡稳定的计算方法 1.小挠度理论： 优点是可以用较简单的方法得到基本正确 的结论，曲率采用近似公式 1 / y 。 y 1 2.大挠度理论：曲率采用精确公式 。 2 3 (1 y )
N
l
S
F Ax=F cr
(a ) (b)
x
F Ax=F cr
推导 压杆在临界轴力作用下，将在微弯情况下保持平衡。由于 固定端B产生反力偶MB，因此，简支端A必有反力FBy=MB/l 。
MB M ( x) Fcr y x l
由挠曲线近似微分方程
x F cr B MB F By=M B/l y (x ) x
五、结论 1.对于理想压杆，稳定性意味着压杆维持其直线压缩的变形 形式的能力。 当压杆所受的轴向压力达到临界力Fcr的值时，该压杆就 处于临界平衡状态。在临界平衡状态下杆件可能在没有受到 外界干扰时还能处于原来的直线平衡状态，也可能在受到微 小干扰后保持微弯状态下的平衡。但由于杆件总不可避免地 要受到外界的干扰，而一经干扰之后，即使还能保持微弯状 态下的平衡，但它已不能回复到它原来的直线平衡状态，这 时的压杆实质上是处于不稳定平衡状态。因此，当作用于压 杆的轴向压力F=Fcr时，压杆开始丧失稳定。
当杆端为其他约束情况时，细长压杆的临界轴力公式可 以仿照两端铰支压杆临界轴力公式的推导方法，根据在不同 的杆端约束情况下压杆的挠曲线近似微分方程式和挠曲线的 边界条件来推导。 x 一端固定、 F cr 一端铰支的细 x MB B 长压杆，杆的 F By=M B/l y (x ) 长度为l，抗弯 F (x ) 刚度为EI，承 M (x ) F (x )=FAy 受轴向压力Fcr， 如图所示。试 F Ay=M B/l FAy 推导其临界轴 A y y 力。
（0 x l）
kx2 4.49
推导 x1=0.3l为挠曲线的拐点坐标值， x2=l为上端铰支座位置。 拐点（反弯点）和铰支座处M=0。可见，该压杆可化为两 端球铰支压杆，其相当长度为l0=0.7l。 综上所述：可以利用两端铰支细长压杆的临界轴力公式， 采用类比的方法，将微弯平衡挠曲线上拐点视为铰，并将 压杆在挠曲线两拐点间的一段视为两端铰支压杆，得到其 他杆端约束情况下细长压杆的临界轴力公式。 挠曲线两拐点间的一段杆长称为原压杆的相当长度或计算 长度或自由长度，并用 l0 l 表示， — 长度因数。
Fcr
0.7l l
0.5l
D
l 2l l
C— 挠曲线拐点
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
2 EI 临界力Fcr 2 EI 2 EI 2 EI F Fcr F 2 Fcr 2 2 cr 欧拉公式 cr (0.5l ) (0.7l ) (2l )2 l
2.弹性平衡的稳定性 (1)稳定平衡： 系统处于平衡形态。若对原有平衡形态有微 小的位移，其弹性回复力(或力矩)使系统回复原有的平衡形态， 则称系统原有的平衡形态是稳定的。如图，当 F 2k时， l 杆AB的铅垂平衡形态是稳定的。

B
(2)不稳定平衡: 系统处 于平衡形态。若有微小位 移，其弹性回复力(或力矩) 使系统不再回复原有的平 衡形态，则称系统原有的 平衡形态是不稳定的。如 图, 2k l < F 时， 杆AB原有的铅垂平衡形态 是不稳定的。
(2)不稳定平衡： 系统处于平衡状态。若稍离平衡位置，将 出现使系统不再回复到原有平衡位置(或进一步偏离平衡 位置)的倾覆力，则称系统原有的平衡状态是不稳定的。