第五章分离性练习题November26,20121练习0.1.证明X 是正规空间⇔X 的任意闭子集A 以及A 的任意邻域U ，存在A 的邻域V ，使得¯V⊆U ．Proof.必要性：不妨设U 是A 的开邻域，则U c 是X 的闭集，且有U c ∩A =∅．这样，U c ,A 就是X 中两个不相交的闭集．根据正规性条件，分别存在A 和U c 的开邻域U 和V 使得U ∩V =∅，即U ⊆V c ，所以U ⊆V c =V c ．另一方面，因U c ⊆V ，我们有V c ⊆U,所以，U ⊆U ．充分性：设A,B 是两个不交闭集．令U =B c ，则U 是A 的邻域．由假设条件可知存在A 的邻域V 使得¯V ⊆U ．令U = ¯V c ，则U 是B 的邻域，再根据假设条件可知存在B 的邻域W ，使得¯W⊆U ．于是¯V ∩¯W ⊆¯V ∩U =∅．练习0.2.证明拓扑空间X 为正则空间的充要条件是X 的任意闭集A 以及任意x /∈A ，存在x 的开邻域U 以及A 的开邻域V ，使得¯U∩¯V =∅．Proof.必要性．设X 为正则空间．∀x ∈A c ，则存在x 的开邻域V 以及A 的开邻域U 使U ∩V =∅．另一方面，存在x 的邻域W ，使¯W ⊆V ．由于U ⊆V c ，有¯U ⊆V c =V c ，因此¯W ∩¯U ⊆V ∩V c =∅．充分性．显然．练习0.3.证明拓扑空间X 为正规空间的充要条件是X 的任意两个不相交的闭集A 和B ，分别存在开邻域U 以及V ，使得¯U∩¯V =∅．Proof.充分性显然．下证必要性．由正规性，存在A,B 的邻域U,V 使U ∩V =∅．另一方面，存在A 的邻域U 使U ⊆U ．同理，存在B 的邻域V 使V ⊆V ．则U ∩V =∅．练习0.4.证明拓扑空间X 为T 1空间当且仅当∀x ∈X ，单点集{x }是x 的所有开邻域之交．Proof.充分性．设{x }= V x ∈U x V x ．任取y ∈X ，y =x ，则存在V x ∈U x 使y /∈V x ．同理，有x 的邻域不含y ，所以X 为T 1空间．必要性．设X 为T 1空间．∀y ∈X,y =x ．则存在V x ∈U x 使y /∈V x ，所以y /∈ V x ∈U x V x ．故{x }= V x ∈U x V x ．练习0.5.证明拓扑空间X 为T 2空间的充要条件是X ×X 的对角线∆={(x,x )|x ∈X }为闭集．Proof.必要性．设X 为T 2空间．∀(x,y )∈∆c ，则y =x ．所以存在邻域U x ,U y 使U x ∩U y =∅．因此U x ×U y ∈∆c ，故∆c 是开集，从而∆是闭集．充分性．设∆是闭集，则∆c 是开集．∀x,y ∈X,x =y ，则(x,y )∈∆c ．于是存在积空间的基开集U x ×U y 使(x,y )∈U x ×U y ⊆∆c ，即U x ∩U y =∅，从而X 是T2空间．练习0.6.设A 是T 1空间X 的任意子集，则A 的导集是闭集．2 Proof.证法一．设x∈A ，则对任意的U∈O x，有U∩(A \{x})=∅．取y∈U∩(A \{x})，则U∈O y，y=x，且y∈A ．因X是T1的，所以存在V∈O y，使得x/∈V．因此有U∩(A\{x})=(U\{x})∩A⊇((V∩U)\{x})∩A=(V∩U)∩A⊇V∩U∩(A\{y})=∅这说明x∈A ，A ⊆A ，从而A是闭集．证法二．由杨忠道定理，只需证明单点集的导集是闭集．对任意的x∈X，由于{x} ⊆{x}={x}，所以{x} =∅是闭集．练习0.7.设f,g:X→Y是连续映射，Y是Hausdorff空间，证明（1）集合E={x∈X|f(x)=g(x)}是X的闭子集；（2）如果A是X的稠密子集且f|A=g|A，则f=g．Proof.（1）证法一：设x∈E c，则f(x)=g(x)，于是存在G∈N f(x)以及W∈N g(x)使得G∩W=∅．因f,g连续，故存在U,V∈N x使得f(U)⊆G，g(V)⊆W．又U∩V∈N x，且对任意的z∈U∩V，有f(z)=g(z)，即U∩V⊆E c，从而E c是X的开集，即E为闭集．证法二：设(x d)d∈D是E中的网，x∈lim x d．因为对任意的d∈D，x d∈E，故f(x d)=g(x d)．由于f,g都连续，所以f(x),g(x)∈lim f(x d)=lim g(x d)．由于Y是Hausdorff空间，根据极限的唯一性可知f(x)=g(x)．于是lim x d⊆E，E是闭集．（2）因f|A=g|A，故A⊆E，而X=¯A⊆¯E=E，于是X=E，即对任意的x∈X，有f(x)=g(x)，即f=g．练习0.8.证明Urysohn引理的充分性：如果拓扑空间的任意两个不交闭集可用一个连续函数分离，则该拓扑空间是正规的．Proof.设A,B是X的两个不交闭集，则存在连续函数f:X→[0,1]，使得f|A= 0，f|B=1。

令U=f−1([0,1/2))，V=f−1((1/2,1])，则U,V分别是A,B的邻域，并且U∩V=∅，所以X是正规的。

练习0.9.证明多于一点的连通T3.5空间的开子集是不可数子集．Proof.设G是T3.5空间X的非空开集，x∈G．（1）如果G=X，则存在y∈X，且x=y．于是存在连续函数f:X→[0,1]使f(x)=0，f(y)=1．由X的连通性可知f(X)=[0,1]，所以X不可数．（2）如果G=X，则G c=∅．而G c是X的闭集，故存在连续映射g:X→[0,1]使g(x)=0，g|G c=1．因X连通，所以有g(X)=[0,1]．又g(X)=g(G)∪g(G c)=g(G)∪{1},所以[0,1)⊆g(G)，即g(G)不可数，从而G不可数．练习0.10.证明分离性质是拓扑性质．3 Proof.以完全正则性为例．设h:X→Y是同胚映射，X是完全正则空间，下证Y也是完全正则空间．任取y∈Y以及不含y的闭集B⊆Y，则h−1(B)是X中不含x=h−1(y)的闭集．由X的完全正则性可知，存在连续映射f:X→[0,1]，使得f(x)= 0，f|h−1(B)=1．于是连续映射g=f◦h−1:Y→[0,1]满足g(y)=0，g|B= 1．练习0.11.证明T0∼T3.5空间的子空间仍然是T0∼T3.5空间．Proof.参看第0.12题．练习0.12.证明正则空间的子空间是正则的．Proof.设X是正则空间，Y是其子空间．设y∈Y，B是Y中不含y的闭子集．则在X中存在一个闭子集B0使得B=B0∩Y．因y/∈B，所以y/∈B0．因X正则，所以分别存在y和B0在X中的邻域U0和V0使得U0∩V0=∅．令U=U0∩∩Y，则U,V分别是y和B在Y中的邻域，而且U∩V=∅．Y，V=V练习0.13.证明正规空间的闭子空间是正规的，并举例说明正规空间的一般子空间不一定是正规的．Proof.先证明正规空间、T4空间对闭子集具有遗传性．设X是正规空间，A是X的闭子集，B1,B2是A的不交闭集，则它们也是X的不交闭集．由X的正规性，存在B1的邻域U和B2的邻域V使得U∩V=∅，从而U∩A与V∩A就分别是B1与B2在A中的不交邻域，所以A是正规的．如果X是T4空间，A是X的闭子集，则A是正则的和T1的，所以是正规的．下面举例说明正规性对一般子集是不可遗传的．设(X,T)是非正规的，∞是不属于X的任意元素．令X∗=X∪{∞}，T∗= T∪{X∗}，则(X∗,T∗)是拓扑空间．下面证明这个空间是正规的．设A,B是X∗的任意两个不交闭集，则至少有一个不含∞．不妨设∞/∈A，则X∗\A为∞的邻域，从而X∗\A=X∗，故A=∅．于是∅和X∗分别是A和B的邻域，且不相交．练习0.14.证明完全正则性是有限可积性质．先证明一个引理：引理0.15.*设I=[0,1]，m:I×I→I定义为m(t1,t2)=max{t1,t2}，则m是连续的．Proof.对任意的a∈(0,1]，有m−1([0,a))=[0,a)2是I×I的开集；对每个b∈[0,1)，有m−1([0,b])=[0,b]2是I×I的闭集，从而m−1((b,1])=m−1([0,1]\[0,b])=(I×I)\m−1([0,b])是I×I的开集．另一方面，S={[0,a)|a∈(0,1]}∪{(b,1]|b∈[0,1)}是I的拓扑子基，所以m连续．4下面设X1,X2是完全正则空间，证明X=X1×X2也是完全正则的．Proof.设x=(x1,x2)∈X，B是X中不含x的闭集，则存在x i在X i中的邻域U i（i= 1,2），使得x=(x1,x2)∈U1×U2⊆B c.由于X i是完全正则的，所以有连续函数f i:X i→I满足f i(x i)=0，f i|Xi \U i=1．定义映射f=m◦(f1×f2):X1×X2→I，则f是连续的，且f(x)=m◦(f1×f2)(x1,x2)=max{f1(x1),f2(x2)}=0.而且当y=(y1,y2)∈(X1×X2)\(U1×U2)时，有y1/∈U1或者y2/∈U2．因此有f1(y1)=1或者f2(y2)=1．从而有f(y)=m◦(f1×f2)(y1,y2)=max{f1(y1),f2(y2)}=1.由于B⊆(X1×X2)\(U1×U2)，故对每个y∈B都有f(y)=1．练习0.16.证明T0∼T3.5空间的积空间仍然是T0∼T3.5空间，正则空间的积空间是正则空间．Proof.以正则空间为例．设X1,X2是正则空间，x=(x1,x2)∈X1×X2，U是x的开邻域，则存在x1在X1中的开邻域U1和x2在X2中的开邻域U2使得U1×U2⊆U．由X1,X2的正则性，存在x1的开邻域V1和x2的开邻域V2使V−1⊆U1，V−2⊆U2．于是，V1×V2就是x在X1×X2中的邻域，并且V1×V2=V−1×V−2⊆U1×U2⊆U,所以X1×X2是正则的．练习0.17.举例说明正规空间的积不必是正规空间，T4空间的积也不必是T4空间．Proof.下限拓扑空间(R,T)是T4空间，而两个下限拓扑空间的乘积不是正规空间．事实上，(R,T)显然是T1的．由于每一个点的每一个邻域有一个闭子邻域，所以(R,T)是正则的．由于下限拓扑空间是Linderlof空间，由吉洪诺夫分离性定理可知下限拓扑空间是正规的．设˜R是两个下限拓扑空间的乘积，E=(x,y)∈˜R|x=y，则E是˜R的闭子集．如果˜R是正规的，则其闭子集E必然也是正规的．然而E不是正规的，因为E的子集A={(x,y)|x∈Q}与B=A c不能用邻域分离．因此˜R不是正规的．练习0.18.设X是Hausdorff空间，f:X→X是连续映射且满足f◦f=f，证明f(X)是闭集．5Proof.证法一．设x ∈(f (X ))c ，则x =f (x )，故存在U 1∈N x ，V ∈N f (x )使得U 1∩V =∅．又f 连续，所以存在U 2∈N x 使f (U 2)⊆V ．令U =U 1∩U 2，则U 是x 的邻域，且U ⊆(f (X ))c ．事实上，若存在z ∈U ，使得z ∈f (X )，即存在y ∈X 使z =f (y )，则有f (z )=f (f (y ))=f (y )=z ，而f (z )∈f (U )⊆V ，所以有z ∈U ∩V ⊆U 1∩V =∅，矛盾．矛盾说明U ⊆(f (X ))c ，即f (X )是闭集．证法二．设ξ是f (X )的网，y ∈lim ξ．因f ◦f =f ，所以有f ◦ξ=f ◦f ◦η=f ◦η=ξ，这里，η是X 中的网，且f ◦η=ξ．由连续性可知f (y )∈lim f ◦ξ=lim ξ.根据Hausdorff空间极限的唯一性可知y =f (y )，所以y ∈f (X )．于是有lim ξ⊆f (X )，因此f (X )是闭集．练习0.19.证明：如果T 1空间有一个有限基，那么该空间只有有限个点，而且是离散拓扑．Proof.设X 是T 1空间，B 是有限基．根据基与拓扑的关系可知只有有限个开集，从而只有有限个闭集．又因为T 1空间的单点集是闭集，所以X 是有限集．由于X 的单点集是闭集，且X 是有限集，所以任意子集都是闭集，从而任意子集也是开集，因此是离散空间．练习0.20.设A 是T 1空间X 的多于一点的连通子集，那么A ⊆A ．Proof.用反证法．假设存在x ∈A ，但x /∈A ，则必有U ∈O x 使U ∩(A \{x })=∅，因此有U ∩A ={x }．于是{x }是A 的既开又闭的非空真子集，这与A 的连通性矛盾．练习0.21.*设(X,T )是无限的Hausdorff空间，证明（1）在(X,T )中存在无限多个非空开集互不相交；（2）如果(X,T )是第二可数的，则Card T =2ℵ0．Proof.（1）若X =∅，则对任意的x ∈X ，存在U ∈O x ，使得U ∩(X \{x })=∅，即单点集是开集，X 是离散空间，结论成立．若X =∅，设x ∈X ，取x 1∈X \{x }，则存在开集G 1,U 1使得x 1∈G 1，x ∈U 1，且U 1∩G 1=∅．现在归纳假设G 1,···,G n 是一组两两不相交的非空开集，U 1,···,U n 是x 的一组开邻域，使得对i =1,···,n −1有U i +1⊆U i ，对i =1,···,n 有G i ∩U i =∅．下面定义G n +1．因U n ∩(X \{x })=∅，可取x n +1∈U n ∩(X \{x })，则存在开集G ∗n +1,U ∗n +1使得x n +1∈G ∗n +1，x ∈U ∗n +1，而且G ∗n +1∩U ∗n +1=∅．令G n +1=G ∗n +1∩U n ，U n +1=U ∗n +1∩U n ，则x n +1∈G n +1，故G n +1=∅，且对任意的i =1,···,n 有G n +1∩G i =G ∗n +1∩U n ∩G i ⊆G ∗n +1∩U i ∩G i =∅.由归纳原理可知G 1,···,G n ,···即为所求．（2）设B 是X 的可数基．对任意的非空开集G ，记B (G )={B ∈B|B ⊆G }.6令φ:T \{∅}→P (B ),G →B (G ).由于 B (G )=G ，所以φ是单射，从而有Card T ≤2ℵ0．另一方面，由（1）可知X 有无限多个两两不相交的非空开集，记这样的开集族为G ，定义f :P (G )\{∅}→T ,A → A ,则f 是单射，所以有2ℵ0≤Card P (G )≤Card T .练习0.22.*设X ={(x,y )∈Q ×Q |y ≥0}，对固定的无理数θ，令N ε(x,y )= {(x,y )}∪ B ε(x +y θ)∪B ε(x −y θ) ∩Q .令T 是X 上以{N ε(x,y )|(x,y )∈X,ε>0}为基的拓扑，证明(X,T )是T 2的，但不是T 2.5的．这里，B ε(r )是x -轴上的区间(r −ε,r +ε)，Q 是x -轴上的有理数集．练习0.23.*设T 是R 的通常的拓扑，令K = 1n |n ∈N ，T 1={G \E |G ∈T ,E ⊆K }，则(R ,T 1)是T 2的，但不是正则和正规的．练习0.24.*令X = (x 1,x 2)∈R 2|x 2≥0 ,B ={B ε(x )|0<ε<x 2,x =(x 1,x 2)∈X } {B (x,x 2)∪{(x 1,0)}|x =(x 1,x 2)∈X }.证明：（1）B 是X 的某个拓扑T 的基；（2）拓扑空间(X,T )是一个T 3空间；（3）拓扑空间(X,T )不是正规空间．练习0.25.如果一个子集族的每个可数子族有非空交集，则称该子集族具有可数交性质．设B 是(X,T )的基，则下列条件等价：（1）．X 是Lindelof 空间；（2）．由B 的成员构成的覆盖有可数子覆盖；（3）．X 的每个具有可数交性质的闭集族有非空交．练习0.26.Linderlof 性质是否为拓扑性质？7Proof.设f :X →Y 是拓扑空间X 到Y 的连续满映射，若X 是一个Lindeloff空间，则Y 也是一个Lindeloff空间．事实上，设τ是空间Y 的任一个开覆盖，因为f :X →Y 是连续满映射，所以{f −1(A )|A ∈τ}为X 的开覆盖，故存在可数子覆盖{f −1(A 1),{f −1(A 2),···}，使得X = if −1(A i )，从而Y =f (X )=f (i f −1(A i ))= i f (f −1(A i ))⊂ i A i ,所以{Ai |i =1,2,···}为Y 的可数开覆盖，即Y 是Lindeloff空间．练习0.27.设(X,T )是正则空间，证明：如果X 的每个非空闭集都有一个孤立点，那么X 的子集A ={x ∈X |{x }∈T }是X 的稠密子集．Proof.对任意的x ∈X 以及U ∈N x ∩T ，由正则性可知存在V ∈T 使得x ∈V ⊆¯V ⊆U ．根据假设条件，存在y ∈¯V \V ，则y ∈V 且存在W ∈N y ∩T 使得{y }=W ∩V ∈T ．故y ∈A ，于是U ∩A ⊇V ∩A ⊇{y }，所以x ∈¯A ，所以A 稠密．。