习题
2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族
{}
1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集、
(1)验证τ就是R 上的拓扑;
(2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间;
(4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的;
(5)说明
(),R τ不满足2
C
公理。

证明:(1)○
1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫
⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭
所以R 与∅都含在τ中 ○
2()U A U A λλλλλλλ∈Λ
∈Λ
∈Λ
-=
-
()0
000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ
λλλλλλλλλλ
λλλ∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∀∈
-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈
∉
⇔∈
-
使
U A λλλλτ∈Λ
∈Λ
-
∈
∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中
○3()
()()()
11221212\\\U A U A U U A A =
()
()()()
11221122
11221212121
2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈
()()1212\U U A A τ∈
∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑
(2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A
这样我们就可以在1
E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈
则22\U A 为b 的一个开邻域 且()
()1122\\U A U A =∅
∴(),R τ满足2T 公理
由题意可知S 就是闭集,a S ∀∉有理数
如果W 就是S 的任意一个开邻域
因为S 为全集,所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中,S 与a 不存在不想交的开邻域,故不满足3T 公理
(3)x R ∀∈,做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则{}n U 就是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ,U 为R 中开集
(),\\x a b S U S ∈⊂
当n 充分大,(),\\n U a b S U S ⊂⊂
所以{}n U 就是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ⊂
x R ∀∈,x 的任一开邻域\U S
()
\U S Q x Q
R Q
≠∅⇒∈⇒⊂
所以Q R =
所以Q 就是(),R τ的可数稠密子集,所以(),R τ就是可分的 (4)设A S ⊂
()\\R S A 就是(),R τ的开集
∴有()
\\R S A S A =就是(),S S τ的开集
∴S 的每个子集都就是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ就是离散拓扑空间,S 不可数
∴从而(),S S τ就是不可分的 (5)假如(),R τ满足2C 公理
2C 公理具有遗传性
则(),S S τ也要满足2C 公理
2C 空间就是可分空间
则(),S S τ就是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理
1、1、9 设A 与B 都就是拓扑空间X 的子集,并且A 就是开集、证明A B A B ⊂、
证明:对x A
B ∀∈,即x A ∈且x B ∈
令U 就是x 的任一开邻域 则U A 也就是x 的开邻域 因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()U
A
B ≠∅
所以x A B ∈,所以A B A B ⊂
1、1、10 设12,,,n A A A 都就是X 的闭集,并且1
n
i i X A ==
、证明B X ⊂就是X 的闭集
⇔i B
A 就是()1,2,
,i A i n =的闭集、
证明:()⇒1,2,
,i n ∀=
有()C
i i i A B A B A -=
(),i i i i
C C
i
x A B
A x A x B
A x
B x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈
又
B 就是X 的闭集
∴C B 就是X 的开集 从而i B A 就是i A 的开集 ∴i B A 就是i A 的闭集 ()⇐因为i B
A 就是()1,2,
,i A n 的闭集
故1,2,
,i n ∀=,存在X 的闭集i B ,使i i
i B
A B A =,而
()()1
1
1111
n
n n n n n
i i
i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
=
===
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以B 就是X 的闭集(有限多个闭集的并还就是闭集)
1、1、13 设{}n x 就是(),c R τ中的一个序列、证明:n x x →⇔存在正整数N ,使得当
n N >,n x x =、
证明:()⇐显然的
()⇒ 假设当n N >时,n x x =不成立
那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ,{}
()1,2,k n x x k ==
{}
\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞
=
对x 的开邻域{}
\k n R x
会{}
,,\k n n K n K x R x ∃>∈ 与{}
\k k n n x R x ∉矛盾
所以存在正整数N ,使得当n N >,n x x =
1、1、15 证明:A 就是拓扑空间X 的稠密子集⇔X 的每个非空开集与A 相交非空、 证明:()⇒因为A 就是X 的稠密子集 所以A X =
故对x A ∀∈,x 的每个开邻域与A 都有交点 从而X 的每个非空开集与A 相交非空 ()⇐因为X 的每个非空开集与A 相交非空 故对x X ∀∈,X 的每个开邻域与A 都有交点 所以x A ∈,即X A ⊂ 又因为A X ⊂,所以A X = 所以A 就是X 的稠密子集
1、1、16 若A 就是X 的稠密子集,B 就是A 的稠密子集,则B 也就是X 的稠密子集、 证明:令U 就是X 的任一非空开集 因为A 就是X 的稠密子集 所以U A ≠∅
从而U A 就是A 的非空开集 又因为B 就是A 的稠密子集,则
()U
B U A B =≠∅
所以B 也就是X 的稠密子集
1、2、1 设:f X Y →就是映射,证明下列条件互相等价: (1)f 就是连续映射;
(2)对X 的任何子集A ,()
()f A f A ⊂; (3)对Y 的任何子集B ,()()
1
1f
B f B --⊂
、
证明:()()12→欲证()
()
f A f A ⊂
即()
y f A ∀∈,要有()y f A ∈ 设V 为y 的任一开邻域 因为f 就是连续映射 所以()1
f V -为x 开集
()1
f
y A -∈,()()11f y f V --∈
又因为()
1
f V A -≠∅
所以()
()1
f f V A -≠∅
即()
()()()
()()()11f
f V A f f V f A V f A y f A --==⇒∈
所以()
()f A f A ⊂ ()()23→由(2)得,()(
)()()1
1f f B f f B B --⊂=
所以()()
1
1f
B f B --⊂
()()31→B 就是Y 的闭集,且()()
()1
11f B f B f B ---⊂=
所以()1
f
B -就是X 的闭集
由定理1、1可得,f 就是连续映射。