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第一章、拓扑学基础

第一章、拓扑学基础1.1拓扑空间概念拓扑空间是一个二元组(S, O),这里S是给定集合,O是由S的一些子集构成的集类,其元素称为开集,并满足如下开集公理:T1 ∅, S∈O(即,∅, S是开集);T2 若U1,U2∈O,则U1⋂U2∈O(即,O对有限交封闭);T3 开集的任意并集还是开集(即,O对任意并封闭)。

註记满足上述开集公理的O,也称为集合S上的拓扑,(S, O)为相应的拓扑空间,也记为S。

例子实数集合ℝ上的标准拓扑:开集定义为若干个开区间的并集。

不难验证:这里定义的开集满足开集公理。

只需说明:两个开区间的交集为空集或开区间。

例子离散拓扑与平凡拓扑对给定的集合S,定义下列两个拓扑:(S,O1): O1由S的所有子集构成,它是S上的拓扑(最大拓扑)。

(S,O2): O2={∅,S},它是S上的拓扑(最小拓扑)。

练习给出实数集合ℝ上三种不同的拓扑空间结构。

练习设S是一个集合,O由∅,S及S的某个固定子集A的所有子集构成。

验证O是S上的拓扑。

从而,(S,O)是一个拓扑空间。

概念设(S, O)是拓扑空间,称A⊂S是闭集,如果S\A是开集。

拓扑空间S的所有闭集构成集合,记为C。

命题拓扑空间S中的闭集满足闭集公理C1 ∅, S∈C;C2 若A1,A2∈C,则A1⋃A2∈C(即,C对有限并封闭);C3 闭集的任意交集还是闭集(即,C对任意交封闭)。

证明:利用下列等式可证。

S\(A1⋃A2)=(S\A1)⋂(S\A2),S\(B ii。

i)=(S\B i)註记开集公理与闭集公理是等价的:若S中的某些子集指定为闭集,并满足闭集公理。

则S是拓扑空间,其开集由闭集的余集所构成。

概念对拓扑空间S,点u∈S的开邻域是指包含u的开集U;子集A⊂S的开邻域是指包含A的开子集;一个点(或子集)的邻域是一个子集,它包含该点(或该子集)的一个开邻域。

例子对拓扑空间ℝ,U=(-1,1)是0的开邻域;W=[-1,1]是0的邻域。

概念设S是一个拓扑空间。

称S是第一可数空间,如果对∀u∈S,存在点u的邻域的序列{U1,…,U n,…}={U n},使得对u的任意邻域 U,必有n满足U n⊂U(也称{U n}为点u处的邻域基)。

子集ℬ⊂O称为S的拓扑基,如果任何开集可以表示成ℬ中若干个成员的并。

称S是第二可数空间,如果S有可数拓扑基。

例子ℝ是第二可数空间,它有可数拓扑基,由下列开区间构成:(a,b),这里a,b是有理数。

(註这里用到有理数在实数集中的稠密性)结论任何第二可数空间,也是第一可数空间。

证明:设ℬ={B n}是可数拓扑基,s∈S。

令ℬ(s)={B n;s∈B n}即可。

引理(Lindelof引理)设S是第二可数空间,A是S的子集。

则A的任意开覆盖,都有可数子覆盖。

证明:设ℬ={B n}是S的可数拓扑基,A有开覆盖{Uα}。

即,Uα是S的开集,且A⊂⋃Uα。

对∀p∈A,存在α,n使p∈B n⊂Uα。

此时,选定一个α(n)使得p∈B n⊂Uα(n)。

于是所有这些Uα(n)构成A的一个可数开覆盖。

概念设S是拓扑空间,A⊂S是子集。

A的闭包cl(A)是所有包含A的闭集的交;A的内部int(A)是所有包含于A中的开集的并;A的边界bd(A)定义为:bd(A)=cl(A)⋂cl(S\A)。

註记闭包cl(A)及边界bd(A)是闭子集;int(A)是开子集。

概念称A⊂S是S的稠密子集,如果cl(A)=S;称A⊂S是S的无处稠密子集,如果S\cl(A)在S中稠密;称S是可分的拓扑空间,如果它有可数的稠密子集;称u∈S是A的聚点,如果u的任意邻域中包含A\{u}的点;称A的所有聚点的集合为A的导集,记为der(A);称A的点a是孤立点,如果存在a的邻域U,使U⋂A={a}。

结论 A⊂S是无处稠密的⇔int(cl(A))=∅。

证明:⇒反证。

若V=int(cl(A))≠∅,它是S的开子集。

从而有S=cl(S\cl(A))⊂cl(S\V)=S\V,这与V≠∅相矛盾。

⇐利用等式S\int(cl(A))=cl(S\cl(A))(下面命题)推导如下:反证。

若S≠cl(S\cl(A)),则V=S\cl(S\cl(A))是S的非空开集。

但是,V=S\(S\int(cl(A)))=int(cl(A)),与假设矛盾。

例子ℝ是可分的拓扑空间:有理数集合是ℝ的稠密子集。

命题设S是拓扑空间,A⊂S是子集,则有下列结论(1)u∈cl(A)⇔对u的任意邻域U,有U⋂A≠∅;(2)u∈int(A)⇔存在u的邻域U,使得u∈U⊂A;(3)u∈bd(A)⇔对u的任意邻域U,有U⋂A≠∅,且U⋂(S\A)≠∅。

证明:只证明(1),(2)-(3)的证明是类似的。

由定义,u∉cl(A)⇔存在闭子集C⊃A,使u∉C⇔存在u的邻域U,使得U⋂A=∅。

从而结论(1)成立。

命题设A,B是S的子集,则有下列结论(1)A⊂B⇒int(A)⊂int(B),cl(A)⊂cl(B),der(A)⊂der(B);(2)S\cl(A)=int(S\A),S\int(A)=cl(S\A),cl(A)=A⋃derA=A⋃bd(A);(3)cl(∅)=int(∅)=∅,cl(S)=int(S)=S,cl(cl(A))=cl(A),int(int(A))=int(A);证明:由定义及上述命题不难直接验证,这些结论成立。

命题设A,B,A i(i∈I)是S的子集,则有下列结论(1)cl(A⋃B)=cl(A)⋃cl(B),der(A⋃B)=der(A)⋃der(B),int(A⋃B)⊃int(A)⋃int(B);(2)cl(A⋂B)⊂cl(A)⋂cl(B),der(A⋂B)⊂der(A)⋂der(B),int(A⋂B)=int(A)⋂int(B);(3)cl(A ii∈I,i∈I)⊂cl(A i)i∈I)⊃cl(A i)i,cl(A iint(A ii∈I。

i∈I)⊂int(A i)i∈I)⊃int(A i)i,int(A i证明:由定义不难直接验证,这些结论成立(反证(1)中第二式)。

概念 设S 是拓扑空间,{u n }是S 中序列。

称{u n }是收敛序列,如果存在 点u ∈S ,对u 的任意邻域U ,∃N ,当n ≥N 时,u n ∈U 。

此时,称u n 收敛于u 或u 是u n 的极限点,记为u n →u 或lim n u n =u 。

命题 设S 是第一可数空间,A ⊂S 。

则a ∈cl(A)⇔存在A 中的序列a n ,使得a n →a 。

证明:⇐由定义不难直接验证,结论成立。

⇒取点a 处的可数邻域基{U n },使得U n+1⊂U n 。

由条件U n ⋂A ≠∅,取a n ∈U n ⋂A 。

对a 的任意邻域U ,存在N ,使得U N ⊂U 。

从而,当n ≥N 时,U n ⊂U N ⊂U 。

即,当n ≥N 时,a n ∈U 。

例子 实数序列{2,0,3/2,-1/2,4/3,-2/3,…}有聚点1,-1。

例子 设S 是平凡空间,则S 中的任意序列收敛到S 中的任意点。

概念 称S 是一个Hausdorff 空间,如果任意不同的两点有不相交的邻域; 称S 是正则空间,如果它是Hausdorff 空间,且对任意闭子集A 及点x ∉A ,A 与x 有不相交的邻域。

称S 是一个正规空间,如果它是Hausdorff 空间,且S 的任意 两个不相交的闭子集,有不相交的邻域。

练习 证明Hausdorff 空间中的单点集都是闭子集。

结论 设S 是第一可数空间,则S 是Hausdorff 空间⇔S 中的任何序列 至多有一个极限点。

证明:⇒由定义不难直接验证,结论成立。

⇐设x ≠y ,且对x 的任意邻域U n ,y 的任意邻域V n ,有U n ⋂V n ≠∅。

不妨设,U n 是x 处的可数邻域基,V n 是y 处的可数邻域基。

进一步,可以假定这两个邻域基满足前述命题中的序关系。

取a n ∈U n ⋂V n ,则a n →x ,a n →y 。

矛盾。

命题 设S 是第二可数空间,且S 是正则空间,则S 是正规空间。

证明:设A ,B 是S 中不相交的闭子集,p ∈A 。

由正则性条件,存在 点p 的开邻域U p ,B 的开邻域U B ,使得U p ⋂U B =∅⇒cl(U p )⋂B=∅。

由于{U p ;p ∈A}是A 的一个开覆盖,利用Lindelof 引理推出, 存在可数个成员{U k ;k=0,1,2,…},也构成A 的开覆盖。

即,A ⊂ U k k ≥0,cl(U k )⋂B=∅。

类似地,有开集的序列{V k },使得B ⊂ V k k ≥0,cl(V k )⋂A=∅。

令G 0=U 0,G n+1=U n+1\ cl(V k )n k=0,H n =V n \ cl(U k )n k=0。

⇒G n ,H n 都是开集,且A ⊂ G n n ≥0=G ,B ⊂ H n n ≥0=H ,G ⋂H=∅。

练习 证明任何第二可数空间都是可分空间。

提示:在拓扑基的每个成员中取一个元素,构成稠密可数子集。

练习 设S 是一个Hausdorff 空间。

证明:S 是正则空间⇔对∀p ∈S , p 的任意邻域U ,存在p 的闭邻域V ,使得V ⊂U 。

提示:可以假设U 是开邻域,F=S\U 是闭子集。

1.2度量空间概念 集合M 上的度量是一个映射d: M ×M →ℝ,并满足M1非负性:d(m ,m)=0,∀m ∈M ,d(m ,n)>0,∀m ≠n ;M2对称性:d(m,n)=d(n,m),∀m,n∈M;M3三角不等式:d(m,l)≤d(m,n)+d(n,l),∀m,n,l∈M。

带有度量d的集合M称为一个度量空间,记为(M,d)或M。

例子ℝn是度量空间,这里ℝn={(x1,x2,…,x n);x i∈ℝ,i=1,2,…,n}。

d((x1,x2,…,x n),( y1,y2,…,y n))=∑(x i−y i)2。

可以验证:d满足M1-M3,称ℝn为由欧氏度量确定的度量空间。

概念设(M,d)是度量空间,m∈M,ε>0。

令Dε(m)={m′∈M;d(m′,m)<ε}:以m为中心、ε为半径的开球。

令Bε(m)={m′∈M;d(m′,m)≤ε}:以m为中心、ε为半径的闭球。

称U⊂M是开集,如果U可以表示成若干个开球的并。

命题 (1)上述定义的开集满足开集公理。

从而,(M,d)是拓扑空间。

(2)U⊂M是开集⇔对∀m∈U,∃ε>0,使得Dε(m)⊂U。

证明:开集公理T1,T3显然成立。

关于T2,只需验证任何两个开球的交可以表示成一些开球的并。

设p∈Dε(m)⋂Dδ(n),0<r<min(ε-d(p,m),δ-d(p,n))。

则p∈D r(p)⊂Dε(m)⋂Dδ(n):对x∈D r(p),d(x,m)≤d(x,p)+d(p,m)<r+d(p,m)<ε。

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