习题
记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族
{}
1\A ,A S U U τ=⊂是E 的开集.
（1）验证τ是R 上的拓扑；
（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；
（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；
（5）说明
(),R τ不满足2
C
公理。

证明：（1）○
1,A U R R U A ττ=∅=⎫⎫
⇒∅∈⇒∈⎬⎬=∅=∅⎭⎭
所以R 和∅都含在τ中 ○
2()U A U A λλλλλλλ∈Λ
∈Λ
∈Λ
-=
-
()0
000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ
λλλλλλλλλλ
λλλ∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∈Λ
∀∈
-⇔∃∈Λ∈-⇔∈∉⇔∈
∉
⇔∈
-
使
U A λλλλτ∈Λ
∈Λ
-
∈
∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3()
()()()
11221
212\\\U A U A U U A A =
()
()()()
11221122
11221212121
2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ∀∈⇔∈-∈-⇔∈∉∈∉⇔∈∉⇔∈
()()1212\U U A A τ∈
∴τ中两个成员的交集仍在τ中
综上所述：τ是R 上的拓扑
（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A
这样我们就可以在1
E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈
则22\U A 为b 的一个开邻域 且()
()1122\\U A U A =∅
∴(),R τ满足2T 公理
由题意可知S 是闭集，a S ∀∉有理数
如果W 是S 的任意一个开邻域
因为S 为全集，所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中，S 与a 不存在不想交的开邻域，故不满足3T 公理 （3）x R ∀∈，做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则{}n U 是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ，U 为R 中开集
(),\\x a b S U S ∈⊂
当n 充分大，(),\\n U a b S U S ⊂⊂ 所以{}n U 是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ⊂
x R ∀∈，x 的任一开邻域\U S
()
\U S Q x Q
R Q
≠∅⇒∈⇒⊂
所以Q R =
所以Q 是(),R τ的可数稠密子集，所以(),R τ是可分的 （4）设A S ⊂
()\\R S A 是(),R τ的开集
∴有()
\\R S A S A =是(),S S τ的开集
∴S 的每个子集都是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ是离散拓扑空间，S 不可数
∴从而(),S S τ是不可分的 （5）假如(),R τ满足2C 公理
2C 公理具有遗传性
则(),S S τ也要满足2C 公理
2C 空间是可分空间
则(),S S τ是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理
设A 和B 都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集.证明A B A B ⊂.
证明：对x A
B ∀∈，即x A ∈且x B ∈
令U 是x 的任一开邻域 则U A 也是x 的开邻域 因为x B ∈ 所以()U A B ≠∅ 即()U
A
B ≠∅
所以x A B ∈，所以A B A B ⊂
设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1
n
i i X A ==
.证明B X ⊂是X 的闭集⇔i
B A 是()1,2,
,i A i n =的闭集.
证明：()⇒1,2,
,i n ∀=
有()C
i i i A B A B A -=
(),i i i i
C C
i
x A B
A x A x B
A x
B x B x B A ∀∈-⇔∈∉⇔∉⇔∈⇔∈
又
B 是X 的闭集
∴C B 是X 的开集 从而i B A 是i A 的开集 ∴i B A 是i A 的闭集 ()⇐因为i B
A 是()1,2,
,i A n 的闭集
故1,2,
,i n ∀=，存在X 的闭集i B ，使i i
i B
A B A =，而
()()1
1
1111
n
n n n n n
i i
i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
====
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以B 是X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）
设{}n x 是(),c R τ中的一个序列.证明：n x x →⇔存在正整数N ，使得当n N >，
n x x =.
证明：()⇐显然的
()⇒ 假设当n N >时，n x x =不成立
那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ，{}
()1,2,k n x x k ==
{}
\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞
=
对x 的开邻域{}
\k n R x
会{}
,,\k n n K n K x R x ∃>∈ 与{}
\k k n n x R x ∉矛盾
所以存在正整数N ，使得当n N >，n x x =
证明：A 是拓扑空间X 的稠密子集⇔X 的每个非空开集与A 相交非空. 证明：()⇒因为A 是X 的稠密子集 所以A X =
故对x A ∀∈，x 的每个开邻域与A 都有交点 从而X 的每个非空开集与A 相交非空 ()⇐因为X 的每个非空开集与A 相交非空 故对x X ∀∈，X 的每个开邻域与A 都有交点 所以x A ∈，即X A ⊂ 又因为A X ⊂，所以A X = 所以A 是X 的稠密子集
若A 是X 的稠密子集，B 是A 的稠密子集，则B 也是X 的稠密子集. 证明：令U 是X 的任一非空开集 因为A 是X 的稠密子集 所以U A ≠∅
从而U A 是A 的非空开集 又因为B 是A 的稠密子集，则
()U
B U A B =≠∅
所以B 也是X 的稠密子集
设:f X Y →是映射，证明下列条件互相等价： （1）f 是连续映射；
（2）对X 的任何子集A ，()
()f A f A ⊂； （3）对Y 的任何子集B ，()()
1
1f
B f B --⊂
.
证明：()()12→欲证()
()
f A f A ⊂
即()
y f A ∀∈，要有()y f A ∈ 设V 为y 的任一开邻域 因为f 是连续映射 所以()1
f V -为x 开集
()1
f
y A -∈，()()11f y f V --∈
又因为()
1
f V A -≠∅
所以()
()1
f f V A -≠∅
即()
()()()
()()()11f
f V A f f V f A V f A y f A --==⇒∈
所以()
()f A f A ⊂ ()()23→由（2）得，()(
)()()1
1f f B f f B B --⊂=
所以()()
1
1f
B f B --⊂
()()31→B 是Y 的闭集，且()()
()1
11f B f B f B ---⊂=
所以()1
f
B -是X 的闭集
由定理可得，f 是
连续映射。