7-1油在水平圆管内做定常层流运动，已知d =75 (mm )，Q=7( litres/s )，P =800(kg/m 3)，壁面上T o =48 ( N/m 2),求油的粘性系数 V 。

答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出即卩：Umd _ 8皿m7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么?答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。

7-3无限大倾斜平板上有厚度为 h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压 Pa ，且剪切应力为 0，流体密度为P ，运动粘性系数为V ，平板 倾斜角为日。

试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。

答：首先建立如图所示坐标系。

二维定常N-S 方程为:c u 丄 c u , 1 c p U ——+v ——=f e x c yd v 丄点V 上 u ——+V ——=f ycy甘勺易知 u =u(y )，p = p(y ), V = 0，f^ gsin 日，fy = —gcos9 ；第七章粘性流体动力学其中：A 是阻力系数，并且、64 人-—；ReU ；是平均速度，u m37x10 2 =1.585( m/s )。

1 .20.25x3.14x0.075一兀d由于阻力系数Z，因此64 64 Pu ； 8Pu m所以油的粘性系数为48X0.075 8X800X1.585= 3.55X10^( 2(m /S )。

(-2 -2、c u + C u-2- 2W对于如图所示的流动, r 2列丿两端同时积分，得到:竺--Zgsiney +G c y V由于当y=h 时，— =0，即—=0，代入上式有:列 列1G = — g si n 日hV因此:邑JgsiMh-lgsineyby VV即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量v = 0。

因此上式可改写为:duu ——=f x +v ,—2次 I 冰c2u1 <P P dy由不可压缩流体的连续方程竺+竺=0可知，由于v = 0，巳=0,则 e x c y色=0 ；e x则上式可进一步简化为:fx +v(1)对于 cu P dy(2)(1 )式，将 f x = g sin 日 代入，则有:=-Igsi n 日V两端再次同时积分，得到:u(y )=lgsin日hy-丄gsin切+C2V 2由于y=0时，u(0)=0，代入上式，知C2 = 0 ；则有:W 丄 cv u ——中V ——<X cyf -2 -2 、 c v ^c v 一 2 IO °y 丿u (y )=1g sin 0 (hy -- y 2V I 2若将-护入，则上式成为: pg 该式即为流动的速度分布。

对于（2）式，将fy = —gcosQ 代入，有:—=-pg COS0 两端同时积分得到: P (y )= -电 cosOy +C 由于当y =h 时，P （h ）= P a ，代入上式有: 因此: P(y )= P a + pg cos 日h - pg cos^y = P a + 电 cosT(h -y ) 该式即为流动的压力分布。

7-4两块无限长二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为 比和卩2，密度分别 为R 和已的液体，厚度分别为 h i 和h 2。

已知上板以等速 v相对于下板向右作平行运动, 整个流场应力相同（不计重力），流动是层流，求流场中速度和切应力的分布。

答：首先建立如图所示的坐标系。

当不计及质量力时，平面定常层流流动的 N-S 方程为: e 丄c u u ——+v —— <x o y / 小f c2■-■21 cp 丄 C u c u =_----- 匚+十|——-+——- P 血■-■2 P cy显然，y 方向的速度分量v=0 ；由不可压缩流体的连续方程可知一+邑=0，可知竺=0，u 仅仅是y 的函数，即e x c y e xU =u （y ），所以上式可重新整理成为:将（1）式分区域写成:分别对两式两端同时积分得到:-h 2兰y 兰0II du II du叫——=^2——，因此有: dy dy（3） （ 4）两式化为:du dy du dy1凹y +C 1e xdy 3y+P i C iex0<y <h0<y <hi d 2y=V dy 2(1)1 e P dy=0由（2）式知道,空=0, 点yP 仅仅是x 的函数p=p （x 卜d 2u dy 2UP 气exd 2u dy 21 cp 卩2 ex-h2 < y < 0卜du2dy由于当y =0时，两种流体界面上的剪切应力相同，即Vdu 1 cp 小上y+G cx=一空y 2+ — C 1 y +C 4 2馬& 巴 4y =0时，两种流体界面上的速度相同，得C^C 4，则:0 < y < h,当y=h i 时，u =V 0，带入到（5）式；当y = -h 2时，u=0,带入到（6）式；得到:(7)1 O2 匕 屛22一严9=0(8)（7）（ 8）两式相减，经整理后得到: V 0 1 巴h+A i h 2 02 气(巴h i + A ih2)戲 将G 代入（8）式，经整理后得到: 片 1 cp 2 C 3芯h 2C1 -匾争2叫.f 巴 +1已忙―巴h 2即、=—h 2 ---------- V -十—” --------------------- ”— -4応 V1— ----------------- V042甘％222 气+ 气h2 ) &丿 2^2 血 砧2佝+h2 )生 (巴^+4/2 ) e x将G 和C 3代回到（5）（ 6） 两式，则可得到两种流体中的速度分布；将（3）和（4） 两du dy腸y +2C i-h2 < y < 0分别对3) 和（4）两式两端同时积分得到:1IX y29y 9"^10 < y < hl dy 一h2 < y < 0 由于当式两端分别乘以片和卩2，并将C i 代入，可得到应力分布分别为:dy du工2 =贱 ------ 。

dy7-5直径为15mm 的光滑圆管，流体以速度14m/s 在管中流动，是确定流体的状态。

又若要保持为层流，最大允许速度是多少？这些流体分别为((4)空气。

已知 V 润滑油=10x10* m 2/s ，V 汽油=0.884X 10》m 2/s 。

答：对于圆管内的流动，临界雷诺数为 Rec = 2300。

当流速U =14 (m/s )时，各种流体的流动状态如下: (1 )润滑油:J 4".015=210，RecRec=2300,为层流流动。

10x1014 X 0 015 =08跖产 2.376><105，Re >Rec= 2300，为湍流流动。

(3)水:心需T 844"。

5，心R心2300,为湍流流动。

(4)空气:Re =翌=149012= 1.443咒 104，Re 》Rec = 2300,为湍流流动。

V 1.455 咒 10若保持流动为层流状态，则要求 Rec Rec = 2300，各种流体的临界速度分别为:翌 V Rec = 2300V(1 )润滑油:1 )润滑油；(2)汽油；(3)水;D Ud Re =——取水的粘性系数V =1.139X10上(2(m /S )。

取空气的粘性系数 V =1.455X10°( 2(m /S )。

U =2300咒一=2300咒10勺=153.3( m/s)；d 0.015(2)汽油:因此雷诺数为:O."0.0254=142.6，流动状态是层流; 5.342x10则阻力系数为:压力降为: l 1 30 1△p =几一一 Pu m =0.449x ----- x_x739.2xo.32 =17640.4(N/m 2)；d 2 0.0254 2最大流速:U max =2U m =0.6 ( m/s )； 圆管内沿径向的速度分布为:U =2300 X-=2300 x 0.884^10=0.136 d0.015(m/s );(3)水:U =2300xt =2300咒1.139*10=0.175 d0.015(m/s );(4)空气:U =2300x-=2300丁.455乂10=2.231 d0.015(m/s )。

7-6 粘性系数》=39.49x10-3( m 2/s ), 丫 =7252N/m2的油流过直径为 2.45cm 的光滑圆管;平均流速为0.3m/s 。

试计算30m 长管子上的压力降，并计算管内距管壁 0.6cm 处的流速。

答：雷诺数：Re=U m d，其中:V平均流速：U m =0.3(m/s )；流体密度：g 7252=739.2( kg/m 3)；9.81运动粘性系数:=卩39.49心0° 739.2 处妙10^ 2(m /s )。

、64A = - Re-6^ =0.449 ；142.6上式中：a =25.4/2=12.7（mm ），则在 r =12.7-6 = 6.7 （mm ）处，流动速度为: r r 2r<6.7U =Umax 1— p =0.6 X 1- 1 a丿 1112.7 10.433（m/s ）。

J7-7 30 C 的水流过直径为 d=7.62cm 的光滑圆管，每分钟流量为 0.340m 3，求在915m 长度 上的压力降，管壁上的剪应力 T 0及粘性底层的厚度。

当水温下降到5 C 时，情况又如何? 答：（1）当水温为30 C 时，取水的粘性系数为 V =0.8009X 10》（m 2/s ）平均流速为: 0.34/60 Um = — = ----- 55’ ~ -- -2 =1 .243 1 .2 0.25X 3.14x0.07622 —ird 4雷诺数为： （m/s ）;Rx 晋二^^243需"183"05，流动为湍流流动; 查莫迪图谱，得到阻力系数为： A=0.017 ；则压力降为: Id Qd C d A p = A ——P u m =0.017X ------- x -x 1.^10Sc 1.243^ =157698（N/m 2） d 2 0.0762 2=1.58（ Pa ）;管壁上的剪切应力: 10 =1几P u ： = l x 0.017X 1.0X103 X1.2432 =3.283 （ N/m 2）； 8 8 又由于吩占H 等i.0573，并且宁=5，得到粘性底层厚度为: y 上 尹O.8009"二0.069（mm ）。

UT0.05736 2（2）当水温下降为5 C 时，取水的粘性系数为 V =1.517心0（m 2/s）平均流速为:-11-雷诺数为:1.243X 0.0762 . ,_5 、去一卄％沖、音去一卄--------- L = 1.183X 10，流动为湍流流动;1.51^1^6查莫迪图谱，得到阻力系数为："0.017 ； 则压力降为:l 1 915 1邙尹ao.。