I 型和 II 型混合裂纹（Palaniwamy，1972） 1. 如何确定开裂角： 裂纹将沿着能产生最大能量释放率的 方向扩展。即按条件 来确定开裂角 0
G 2G 0 0 （为什么？） 2 ，
2. 当该方向的能量释放率达到临界值 Gc 时，裂纹开始扩 展，即
G0 Gc
lim y
a 0
0
＝> K I 0 ＝> K II 0
lim xy r
a 0
0
无限短支裂纹的应力强度因子
1 K I 0 cos 0 K I 1 cos 0 3K II sin 0 2 2 0 1 K II 0 cos K I sin 0 K II 3 cos 0 1 2 2
0
是否最大环向应力理论与最大能量释放率理论从本质上完全一 致？讨论：能量释放率的计算 若裂纹沿原裂纹方向扩展，
2 K I2 K II G0 E
该式推导利用了裂纹微量扩展 时的裂尖场的相似性。 类似的？？？， 支裂纹的能量释 放率为
2 K I2 K II G E
严格说， 当有最初的微量支裂纹 产生时， 这种相似性不再严格成 立， 因此上式计算支裂纹的能量释放率只是近似， 其他的能量释放 率计算将预测与最大环向应力准则可能不同的方向。
以上混合型裂纹断裂准则均在线弹性的脆性材料中能较好预测 裂纹偏折方向，但不能准确预测延性材料混合裂纹的扩展。 在弹塑性方面， 介绍 Yuh J. Chao(1997)的工作， （谨慎使用！ ！ ） 。 考虑到存在两个断裂应力，拉断应力 c 和剪断应力 c ，所以两 种断裂模式会竞争，考察 以下两个比值，

KI 2r
1 3 K II 3 cos cos 2 4 2 2r 4
3 3 3 sin sin 2 cos 2 4 2 4
3 3 3 纯II型： sin sin 2 4 2 4
2 K I2 K II 代 入 G E ，得原裂纹沿 0 方向扩展的能量释放率。
2 K I20 K II 0 G 0 E G 2G 然后确定开裂角， 0 ， 2 0
1. 发现在最大能量释放率方向 K II 0 0 ，即 r 0 方向，与最大 环向应力预测的方向一致。 2 G G K Ic Ic / E ，又与最大环向应力理论一致。 2. 裂纹扩展准则
纯 II 型裂纹在 70.5 产生最大环向应力, 如何理解记忆?
最大环向拉应力强度因子理论——开裂角的确定
0 纯 I 型问题 max
70 . 5 纯 II 型问题 max
问题：如何实现纯II型加载？
一种混合型裂纹加载方式
最大环向拉应力强度因子理论
问题：偏折角度是否合理？局部的 II 型应力强度因子是否消失？
Nuismer 提出的分析方法，上横线代表支裂纹局部坐标系。 若裂纹沿原裂纹方向扩展，
2 K I2 K II G0 E
类似的， 支裂纹的能量释放 率为（稍后讨论）
2 K I2 K II G E
当原裂纹刚沿支裂纹扩展 时， 即 a 0 时， 记此时的 K I 和 K II 分别为 K I 0 和 K II 0 ，而 且此时的支裂纹尖端领域 的应力场趋近于原裂纹尖端的应力场。所以
K II 3 3 3 sin sin 2 4 2 2r 4 K II 1 3 3 cos cos 2 4 2 2r 4
最大环向拉应力要求

r
2 0 并且 2
0
r
同时有 r 0 ， 【习题 6-1】 是巧合还是有别的原因？
3 3 3 sin sin 4 2 4 2
1 3 3 纯I型： cos cos 2 4 2 4
3 3 3 纯II型： sin sin 2 4 2 4
K IIc
3 K Ic 2
【题 6-2】 推导 I 型和 II 型混合裂纹的断裂准则 K KI , KII Kc KIc
max
最大环向拉应力准则的不足： 最大拉应力理论认为只要一个应力分量达到最大值，构件 就发生破坏，从原则上说，当其他应力分量也与这个应力 分量差不多大时，这个理论就可能产生较大的误差。
最大能量释放率理论 用能量释放率的概念研究混合型裂纹的基本思想与适 用于纯 I 型裂纹扩展的 Griffith 能量理论的基本思想是相 同的，即裂纹的虚拟扩展，引起能量的释放，当释放的能 量等于形成新裂纹面所需的能量时，裂纹就起裂。这两者 的主要区别在于：Griffith 理论中裂纹沿其延长线扩展， 而在混合型中则不然，除了 I 型和 III 型混合问题中裂纹 仍沿其延长线扩展外，其余类型的混合型问题中裂纹扩展 就不再沿着延长线。
d dU S w d d r
弹性稳定理论认为，势能最大状态是不稳定状态，相应于弹性应变 能最小的状态是不稳定状态。据此应变能密度强度因子理论提出两 个基本假设
如果裂纹体只受牵引力作用，则体系的势能 与应变能 U 之和为零，因此 U 。以 表示体积，则势能密度为
d dU S w d d r
弹性稳定理论认为，势能最大状态是不稳定状态，相应于 弹性应变能最小的状态是不稳定状态。据此应变能密度强 度因子理论提出两个基本假设 1. 裂纹沿最小应变能密度强度因子方向开裂。 2. 当最小应变能密度强度因子达到临界值时， 裂纹失稳扩 展。该临界值为材料常数，即材料断裂韧度。 应变能密度强度因子理论可以正确预测一些裂纹起裂方 向。 有何问题？请谨慎使用
max c max c 拉 断 模 式 断 裂
（最大环向拉应力准则） ， 脆性材料的 c / c 比较大
max c max c
剪切模式断裂
（所谓的最大剪应力准 则）
小结 1. 最大环向拉应力强度因子理论 2. 最大能量释放率理论 3. 最小应变能密度强度因子理论？？？ 4. 在弹塑性方面，介绍 Yuh J. Chao(1997)的工作， （谨 慎使用！ ！ ） 。考虑到存在两个断裂应力，拉断应力 c 和剪 断应力 c
第六章 复合型断裂判据— 判断裂纹起裂和拐弯 先前的工作都假设裂纹始终沿裂纹面直线扩展，事实上裂 纹是会拐弯的。有三种理论可以判断裂纹扩展的角度 1. 最大环向拉应力强度因子理论 2. 最大能量释放率理论 3. 最小应变能密度强度因子理论？？？
裂纹混合类型分类 纯 I 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 纯 III 型裂纹沿裂纹平面延长线呈直线扩展 所以 I 型和 III 型混合裂纹仍沿裂纹平面延长线呈直线 扩展 当有 II 型裂纹存在时，裂纹不再沿裂纹平面延长线扩 展，目前研究较多的是 I 型和 II 型的混合型裂纹。而且 多数限于线弹性断裂
裂纹偏折总的趋势是要形成纯 I 型扩展，裂纹初始扩展情况下并未 让 II 型应力强度因子立刻消失，而是通过逐渐偏折形成 I 型扩展。
最大环向拉应力强度因子理论——判断何时起裂 根据最大环向拉应力相等原则

KI 2r
1 3 K II 3 cos cos 2 4 2 2r 4
最小应变能密度强度因子理论？？？ 应变能密度： w ij ij / 2 ，对于线弹性易知 w 1 / r

1 I II K II ， 3 K III 3 K I 2r 2r


定义应变能密度强度因子： S wr 可以表示为应力强度因子及角度 的函数 2 2 S a11K I2 2a12 K I K II a22 K II a33 K III (为什么没有别的耦合项?) 其中 a11 , a12 , a22 , a33 是角度 及材料常数的函数 （引自沈成康书）如果裂纹体只受牵引力作用，则体系的势能 与 应变能 U 之和为零，因此 U 。以 表示体积，则势能密度为
I型
II 型
III 型
混合型裂纹的偏折起裂问题可以分成两个子问题： 1. 如何确定开裂角 2. 如何判断裂纹是否在此开裂角方向开始扩展
最大环向拉应力强度因子理论
r
KI 2r KI 2r
1 3 3 cos cos 2 4 2 4 1 3 1 sin sin 2 4 2 4