天天练25空间几何体小题狂练○25一、选择题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案：A解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()答案：C解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F 是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．3 B.113C ．7 D.233 答案：B解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为13×12×1×2×1＝13，所以该几何体的体积为4－13＝113.6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18 答案：A解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD ＝2，BC＝1，所以P A⊥AD，P A⊥AB，P A⊥BC.又BC⊥AB，AB∩P A ＝A，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△P AB，△P AD，△PBC，共3个．故选C.8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是()A ．9π B.9π2 C ．36π D ．18π 答案：B解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A －BCD .该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球的半径R＝12×22＋22＋12＝32，则外接球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.二、非选择题9．已知在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．答案：(5＋2)π解析：由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：4＋6π解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为12π×22×3＋13×12×4×2×3＝4＋6π.11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8 cm 2，俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．答案：4 3 cm 2解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a ，高为h ，则其正视图的长为a ，宽为h ，故其面积为S 1＝ah ＝8；①而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形，其面积为S 2＝34a 2＝4 3.②由②得a ＝4，代入①得h ＝2.侧视图是一个长为32a ，宽为h 的矩形，其面积为S 3＝32ah ＝4 3 (cm 2)．12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．答案：16π3解析：如图，设OO ′⊥平面ABC ，垂足是点O ′.设球的半径为r .∵边长为3的正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，∴AO ′＝23×3×32＝1，OA ＝r ，OO ′＝12r .∵OA 2＝O ′A ＋OO ′2，即r 2＝1＋r 24，解得r 2＝43，∴球O的表面积S ＝4πr 2＝16π3.课时测评○25一、选择题 1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是( )①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案：D解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案：D解析：蚂蚁由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，若把平面BCC1B1展开到与平面ABB1A1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD展开到与平面CDD1C1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过CD的中点，此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2 C.43 D.23 答案：D解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为13×12×2×2×1＝23.故选D.5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 是( )A ．2B ．4.5C ．1.5D ．3 答案：C解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S ＝12×(1＋2)×2＝3.由该几何体的体积V ＝13×3x ＝32，解得x ＝1.5.故选C.6．[2018·全国卷Ⅲ]设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 答案：B解析：由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝2 3.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．25π B．26πC．32π D．36π答案：C解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝23，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.易知AD 为三棱锥A －BCD 的外接球的直径．设球的半径为R ，则由勾股定理得4R 2＝AB 2＋4r 2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR 2＝32π.故选C.8．[2019·长春质量监测(一)]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12答案：B解析：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E －ADHG ＋V 三棱柱EHG －FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B.二、非选择题9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为23，在底面△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．答案：16π解析：由题意可知，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC的外接圆的半径R ＝3sin60°×12＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为(3)2＋12＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案：402π解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12(2r )2·158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π.11.如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．解析：根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.。