第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。

矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21 ，β），称矩阵A 为方程组的增广矩阵。

2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合c 1η1+ c 2η2+⋯ + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。

性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线性方程组的一个解。

3.线性方程组解的情况的判别（1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ).若有非零解⇔ r(A)<n(若矩阵A 是n 阶矩阵，则0=A ) 只有零解⇔r(A)=n (若矩阵A 是n 阶矩阵，则0≠A )（2）对于方程组AX =β,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A ),r(A |β).① 无解⇔r(A)<r(A |β). ② 有唯一解⇔r(A)=r(A |β)=n.(当A 是方阵时,就推出克莱姆法则.) ③ 有无穷多解⇔r(A)=r(A |β)<n.方程的个数m 虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A )和r(A |β)的上界,因此 当r(A )=m 时, AX =β一定有解. 当m<n 时,一定不是唯一解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111补充1：当A 列满秩(或A 可逆时, A在矩阵乘法中有左消去律AB =0⇒B =0；AB =AC ⇒B =C .证明 设B =(β1,β2,…,βt ),则AB =0⇔A βi =0,i=1,2,…,s. ⇔β1,β2,…,βt 都是AX =0的解. 而A列满秩, AX =0只有零解, βi =0,i=1,2,…,s,即B =0. 同理当B 行满秩（或B 可逆时），0000=⇒=⇒=⇒=A A A B AB T T T C A CB AB =⇒=补充2 如果A 列满秩（或A 可逆）,则r(AB )=r(B ).分析: 只用证明齐次方程组ABX =0和BX =0同解.(此时矩阵AB 和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)证明：η是ABX =0的解⇔AB η=0⇔B η=0(用推论1)⇔η是BX =0的解.于是ABX =0和BX =0确实同解.同理当B 行满秩（或B 可逆）时，r(AB )=r(A ).例 题一. 填空题1.设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充要条件是______. 解：0=Ax 有非零解，()m A r <2.设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充要条件是 解：()0=-C B A ，B , C 不相等，0=Ax 有非零解，()n A r <3.若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.解：假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.4. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解。

解：k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解。

5. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.解： 03011211≠k k , 53,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解。

6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______. 解：因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1 , 11=++s C C .7. 设A, B 为三阶方阵, 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________. 解：()()2==B A r A r ，2-=k8. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解：因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.9. 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在非零3阶矩阵B ，使0=AB ，求=B解：0=AX 有非零解，所以10=⇒=λA000=⇒=⇒=x B A B AB T T T 存在非零解，所以00=⇒=B B T10. 设矩阵()4321,,,αααα=A ，其中432,,ααα线性无关, 3212ααα-=，又设4321ααααβ+++=，求β=Ax 的通解。

解：3212ααα-=⇒⇒=+-02321ααα),,(321ααα线性相关，()3=A r 基础解系含有一个向量：()()TTk 1,1,1,10,1,2,1+-=η11.321,,εεε都是β=Ax 的解，其中1ε=(1,2,3,4), 32εε+=(0,1,2,3), r(A )=3。

求通解。

解：因为r(A )=3，是四元方程组，所以基础解系含有1个向量，()02132=-+εεεA ，()15,4,3,2εη+=Tk12. 设A 是n 阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，（1）如A 中每行元素之和均为0，且r （A ）=n-1，则方程组的通解为____(2) 如果每个n 维向量都是方程组的解，则r （A ）=____(3) 如r （A ）=n-1，且代数余子式A 11≠0，则Ax=0的通解是____, A *x=0的通解是____ (A *)*x=0的通解是______ 解：（1）因为r （A ）=n-1，所以基础解系中含有1个向量。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000111212222111211nn n n n n a a a a a a a a a ()T k 1,1,1 =η（2）因为基础解系的向量个数为：()n A r n =-，()0=A r（3）因为r （A ）=n-1，所以基础解系含有1个向量。

r （A ）=n-10=⇒A ，0==⋅•E A A A ，所以•A 的每一列都是0=Ax 的解。

r （A ）=n-1()1=⇒•Ar ，又因为A11≠0，所以•A 的第一列是0=Ax 的解，Ax=0的通解是()Tn A A A A k 1131211,, =η因为()1=•Ar ，所以基础解系含有1-n 个向量，0==⋅•E A AA所以要从A 的n 列中找出1-n 列是线性无关的。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，因为A 11≠0，所以A 的后1-n 列是线性无关的， 所以A *x=0的通解是矩阵A 的后1-n 列。

因为()2-••⋅=n AA A，当2=n 时，()A A =••(A *)*x=0的通解是[]TA A k 1211,，⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 2211a A = 2112a A -= 3≥n 时，(A *)*=0，(A *)*x=0的通解含有n 个线性无关的向量，可选n 个单位向量。

二. 单项选择题1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T , ξ2 = (－2, 0, 1)T 都是线性方程组0=Ax 的解, 则系数矩阵A 为 (A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321 (B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010 (D) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010 解：因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A) 3)(=A r . (B) 2)(=A r . (C) 2)(=A r (D) 1)(=A r 2. 设A 是m ×n 矩阵，r(A )=r ．则方程组AX = β(A) 在r=m 时有解 (B) 在m=n 时有唯一解(C) 在r<n 时有无穷多解 (D) 在r=n 时有唯一解3. 设21,εε是非齐次方程组AX =β的两个不同的解,21,ηη为它的导出组AX =0的一个基础解系，则它的通解为( )(A) k 1η1+k 2η2+(ξ1-ξ2)/2 (B) k 1η1+k 2(η1-η2)+(ξ1+ξ2)/2 (C) k 1η1+k 2(ξ1-ξ2)+(ξ1-ξ2)/2 (D) k 1η1+k 2(ξ1-ξ2)+(ξ1+ξ2)/2 4. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 321,,ξξξ的一个等价向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组 (C) 321211,,ξξξξξξ+++ (D) 133221,,ξξξξξξ---5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax = 的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 ( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解：因为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r nA r n A r ，因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ，由已知得b Ax =的解不唯一, 所以 1)(-≤n A r , 所以 1)(-=n A r . 于是基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案。