2 x1 2 x2 x3 0 1、设线性方程组 x1 x2 2 x3 0 的系数矩阵A，三阶 x x 3 x 0 3 1 2
矩阵B不等于零，且AB=0，试求 的值，并证明 B 0
1 0 1 2 B ( kE A ) 2、设矩阵 A 0 2 0 ，矩阵 ，其中k为 1 0 1
一、填空题（每小题2分，共14分） 1 A 1、设A是3阶矩阵，且 A ， 是A的伴随矩阵，则： 2
(3 A) 2 A
1

16 27
T
2、设四元非齐次线性方程组 Ax b 的系数矩阵A的秩为3，且
1 (1,2,3,4) ,2 (2,3,4,5)
T
是该方程组的两个解，则
问当a,b取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解， 并求有无穷多解时的通解。
七、（满分10分） 求一正交变换 x Py ，将二次型
f ( x1, x2 , x3 ) x 4x 4x 4x1x2 4x1x3 8x2 x3
2 1 2 2 2 3
化为标准形。
八、（每小题5分，满分10分）
k 2
(k 2)
2
2 3
八、1）解：
2 2 1 A 1 2 0, B 0 1 1 3 并且 AB 0, R( A) 3, R( B) 3
A 0, 1
因为1）可知 R( B) 3, B 0
八、2）解：
1
0 1
4、设A为n阶方阵，且 A a 0 ，则 A （ A ）
( A) a
n 1
1 ; ( B) ; (C ) a; ( D)a n . a
5、设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（A ） （A） A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （B） A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关； （C） A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关； （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关；
5、设3阶矩阵 A ( , 1 , 2 ), B ( , 1 , 2 ) ，且 A 3, B 5 则 A B
32
2 0 0 2 0 0 6、已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似， 0 1 x 0 0 1
三、计算行列式（每小题5分，共10 分）
4 3 1、 D 2 2
1 0 5 1 1 2 0 6 4 5 3 2
218
1 a1
2、Dn
1
1

1 1 1
1 n (1 ) ai i 1 ai i 1
n
1 1 1
1 a2 1 1 1 a3 1 1
五、解矩阵方程（满分7分）
2 2 1 设矩阵 A 3 6 3 且 AB A B ，求矩阵B。 1 2 3
六、（满分9分）
x1 x2 x3 x4 1 x x 2x 1 2 3 4 设有线性方程组 2 x1 3x2 (a 2) x3 4 x4 b 3 3x1 5 x2 x3 (a 8) x4 5
2、已知向量组
1,2 ,3 线性无关，试证向量组：
1 1 2 23 , 2 1 2 3 , 3 1 2 ,
Hale Waihona Puke 线性无关。T 3 E 2 A 0 , AA 2E, A 0 3、设4阶方阵A满足条件
求A的伴随矩阵 A 的一个特征值。
整理得：(k1 k2 k3 )1 (k3 k2 k3 ) 2 (2k1 k2 )3 0 国为向量组 1 , 2 , 3 线性无关，所以
k1 k 2 k3 0 k1 k 2 k3 0 2k k 0 1 2
1 an
其中 ai 0 (i 1,2,, n)
四、完成下列各题（1、2小题3分，3题4分，共10 分） 1、已知n阶矩阵A满足A2+2A-3E=0，试证：A+4E可逆， 并求出（A+4E）-1.
( A 4 E )( A 2 E ) 5E
1 ( A 4 E )[ ( A 2 E )] E 5
2、设A为m*n矩阵，且R(A)=m<n，则（ D ） （A）A的任意m个列向量线性无关；
（B）A经过若干交初等行变换可化为（Em,0)的形式； （C）A中任一m阶子式为零；
（D）Ax=0必有无穷多解。 3、设A为n阶方阵，则方阵（ （A）A-AT； （C）AAT； C ）为对称矩阵。 （B）CACT（C为任意n阶矩阵） （D）(AAT)B (B为任意n阶对称矩阵）
方程组 Ax b 的通解为:
(1,2,3,4)T k (1,1,1,1)T , k R
3、已知三阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵 B A2 E 的特征值为： 2,2,5 ， B

20
T T T ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 3 ) , ( 1 , 3 , t ) , 4、设有向量组 1 2 3 问t 4 时向量组 1 , 2 , 3 线性相关。
0
1 0
E A
2
0
2
2
1
所以，A 的特征值为 1 所以，B 的特征值为
0, 2 3 2.
k 2 , k 2 4k 4, k 2 4k 4.
则B与 相似， 当 k 0且k 2时 2 (k 2) 特征值都大于0，并且 B T B 所以为正定阵。
从而有
A
4 8 是 的一个特征值。 A 3 3 2

是 A 的特征值。
第七题、
p p1 , p2 , p3
2 5 1 5 0

2
3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 3 2 3
f 9y
则
x
0
y
1
7、已知实二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) a( x12 x2 x3 ) 4x1x2 4x1x3 4x2 x3
2 经正交变换 x Py 可化为标准形 f 12 y1 ，则a=
二、单项选择题（每小题2分，共10 分） 1、若4阶矩阵A的元素均为1，则A的特征值为（ B ） （A）1，1，1，1； （C）1，1，0，0； （B）4，0，0，0； （D）1，0，0，0.
相似，并求k为何值时，B为正定矩阵。
实数，E为3阶单位阵，试求对角矩阵 ，使B与对角阵
四、2）证：设有数 k1 , k2 , k3 使得 k11 k2 2 k3 3 0
即： k1 (1 2 23 ) k2 (1 2 3 ) k3 (1 2 ) 0
由此求方程组的系数行列式 只有惟一零解，所以 线性无关。
1
1
1
1 1 1 4 0 2 1 0
3 四、3）解：由 3E 2 A 0 可知 是A的一个特征值。 2
AA 2 E
T
所以 A 2 E 2 4 16
2
而因为 A 0 故 A 4
若 是 A的一个特征值，则