2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A)考试方式：闭卷 考试时间：一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A )α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

12．设矩阵111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。

13． 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=--+=+-+=+-13413212302432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T T T Tαααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。

15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.四、解答题（10分）16. 已知100032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求10A五、证明题（每小题5分，共10分）17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,,r ηηη为对应的齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη线性无关。

18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.2010-2011-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考 考试时间：2011.5.28一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。

A. ();k k k AB A B =B. ;A A -=-C. 22()();A B A B A B -=-+D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；2．下列不是向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（ ）。

A ．12,,,s ααα⋅⋅⋅都不是零向量; B. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余向量线性表示; C. 12,,,s ααα⋅⋅⋅中任意两个向量都不成比例; D.12,,,s ααα⋅⋅⋅中任一部分组线性无关;3. 设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ ）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；4． 如果（ ），则矩阵A 与矩阵B 相似。

A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；5．二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ ）时，是正定二次型。

A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．设300140003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()12A E --＝ ；7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131D =中元素ij a 的代数余子式，则11122122A A A A = ；8．100201100010140001201103010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ；9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 ；10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠， 且()()3R A E R A E n ++-=， 则A 的一个特征值λ= ；三、计算题（每小题10分，共50分）11．设()111122220+aa A a n n n n a +⎛⎫⎪+⎪=≠ ⎪⎪⎝⎭，求A 。

12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中102030201A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭。

13．已知111011001A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

14．λ取何值时，线性方程组1231231232124551x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。

15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。

四、解答题（10分）16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。

其中：()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3Tβ=。

（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。

五、证明题（每小题5分，共10分）17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。

18． 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。

2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考 考试时间：2010.12.19一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。

(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2n n -个.2．下列矩阵中（ ）不满足2A E =-。

(A ）1211-⎛⎫ ⎪-⎝⎭; （B ）1211--⎛⎫ ⎪⎝⎭; （C ）1211-⎛⎫ ⎪⎝⎭; （D ）1121⎛⎫ ⎪--⎝⎭.3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。

(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1,P P AP B -=使； (C) 存在可逆矩阵,TC C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4．向量组错误！未找到引用源。

线性无关的充分必要条件是（ ） （A ）错误！未找到引用源。

均不为零向量；（B ）错误！未找到引用源。

中有一部分向量组线性无关； （C ）错误！未找到引用源。

中任意两个向量的分量不对应成比例；（D ）错误！未找到引用源。

中任意一个向量都不能由其余错误！未找到引用源。

个向量线性表示。

5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ ）。

（A ）充分条件； （B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件;二、填空题（每小题3分，共15分）6．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，则22A A -= ；7．已知(),,,,,,⎪⎭⎫⎝⎛==31211321βα设,A T βα=则A = ；8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= ；9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;10. 已知111242335A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，00020002B λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且A 于B 相似，则λ= 。

三、计算题（每小题10分，共50分）11．12312111111111111(0)1111n n na a D a a a a a ++=+≠+12．12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解.①求λ的值；②证明0B =.13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102,004202A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求矩阵X 。

14．求向量组123411343354,,,,22323342αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭53101α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 的秩及最大无关组。

15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2. 求A 的特征值和对应的特征向量。