若 v 为瞬时速度，则 P 为瞬时功率．)
三、考点鸟瞰
考点鸟瞰 考点一：判断功的正负 考点二：恒力做功的计算
考点三：功率的计算 考点四：机车启动问题 考点五：求变力做功的六种方法
高考热度 ★★★★ ★★★★★ ★★★★★ ★★★★ ★★★★★
考点讲练
考点一 判断功的正负
判断功的正负的方法 (1)直线运动中功的判断：依据力与位移的夹角来判断(见练 1)． (2)曲线运动中功的判断：依据力与速度的方向夹角来判断 (见练 2)． (3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度来判断， 常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断(见练 3)．
3．计算功率的注意问题 (1)要弄清楚是求平均功率还是瞬时功率． (2)计算平均功率时，应明确是哪个力在哪段时间内做功的平 均功率． (3)计算瞬时功率时，应明确是哪个力在哪个时刻的功率．
把 A、B 两相同小球在离地面同一高度处以相同大小的 初速度 v0 分别沿水平方向和竖直方向抛出，不计空气阻力，如图 所示，则下列说法正确的是( )
A．两小球落地时速度相同 B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同 C．从开始运动至落地，重力对两小球做的功相同 D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
【答案】 C 【解析】 A、B 两球落地的速度大小相同，方向不同，A 项错误；由 P＝mg·vcosα可知，因 B 球落地时竖直速度较大， 故 PB＞PA，B 项错误；重力做功与路径无关，均为 mgh，C 项 正确；因 B 球从抛出到落地所用时间较长，故 PA＞PB，D 项错 误．
(2016·安徽皖江名校联考)完全相同的两辆汽车，都拖着 完全相同的拖车，以相同的速度在平直公路上以速度 v 匀速齐头 并进，汽车与拖车的质量均为 m，某一时刻两拖车同时与汽车脱 离之后，甲汽车保持原来的牵引力继续前进，乙汽车保持原来的 功率继续前进，经过一段时间后甲车的速度变为 2v，乙车的速度 变为 1.5v，若路面对汽车的阻力恒为车重的 0.1 倍，取 g＝10 m/s2， 则此时( )
如图所示，木板质量为 M，长度为 L，小木块质量为 m， 水平地面光滑，一根不计质量的轻绳跨过定滑轮分别与 M 和 m 连接，小木块与木板间的动摩擦因数为 μ，开始时木块静止在木 板左端，现用水平向右的力将 m 缓慢拉至右端，拉力做功为( )
A．μmgL C．μmgL/2
B．2μmgL D．μ(M＋m)gL
A．甲乙两车在这段时间内的位移之比为 4∶3 B．甲车的功率增大到原来的 4 倍 C．甲乙两车在这段时间内克服阻力做功之比为 12∶11 D．甲乙两车在这段时间内牵引力做功之比为 3∶2
【答案】 CD 【解析】 汽车拖着拖车时做匀速运动，受牵引力 F＝ 0.1×2mg，P1＝0.1×2mgv.拖车脱离后，对甲车，因为保持牵引 力不变，有 F－0.1mg＝ma，2v＝v＋at，联立解得 a＝1 m/s2，t ＝v(s)，x1＝vt＋12at2＝32v2，对乙车，因为保持功率不变，由动能 定理：P1t－0.1mgx2＝12m(1.5v)2－12mv2，解得 x2＝2.275v2，
如图所示，物体在水平恒力 F 的作用下，从斜面底端 O 点沿斜面缓慢移动到 A 点，去掉 F 后，物体从 A 点下滑到水平 面的 B 点停下．斜面的倾角为 θ，OA 的水平距离为 L1，OB 距 离为 L2，物体的质量为 m，物体与水平面和斜面间的动摩擦因 数都为 μ，下面判断正确的是( )
A．物体从 O 移动到 A，重力做的功是 mgL1tanθ B．物体从 O 移动到 A，水平恒力 F 做的功是 FL1 C．物体从 O 移动到 A 和从 A 下滑到 O 克服摩擦力做的功 相等 D．物体从 A 下滑到水平面的 B，克服摩擦力做的功是 μmg(L1＋L2)
D．摩擦力可能做负功
【答案】 ACD 【解析】 支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正 功．而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受 重力和支持力，如图所示，此时加速度 a＝gtan θ；当 a>gtanθ时，摩擦力方向沿斜面向下，与 位移夹角小于 90°，则做正功；当 a<gtanθ时， 摩擦力方向沿斜面向上，与位移夹角大于 90°， 则做负功．综上所述，A、C、D 三项正确．
如图所示，质量为 m 的物体置于倾
角为 θ 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数
为 μ，在外力作用下，斜面体以加速度 a 沿水
平方向向左做匀加速运动，运动中物体 m 与
斜面体相对静止．则关于斜面对 m 的支持力和摩擦力，下列说
法中正确的是( )
A．支持力一定做正功
B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功
B 项正确；0－1 s 内，摩擦力 Ff1＝14 N，位移为 5m；1－3 s 内， 摩擦力 Ff2＝5 N，位移为 10 m，故在 0－3 s 内，物体克服摩擦 力做功 120 J，C 项正确；根据动能定理，在 0－2 s 内，合外力 做的功等于动能的变化量即为 12.5 J，故其平均功率为 6.25 W， D 项正确．
故有xx12＝2.375＝1112，A 项错误；甲车的功率与速度成正比，故 B 项错误；汽车克服阻力做功为 W＝fx，故WW12＝xx21＝1112，C 项正确； 而牵引力做功之比WW21′′＝FPx1t1＝32，D 项正确．
汽车在平直公路上以速度 v0 匀速行驶，发动机功率为 P，牵引力为 F0，t1 时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即 减小一半，并保持该功率继续行驶，到 t2 时刻，汽车又恢复了匀 速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力 F 随时间 t、 速度 v 随时间 t 变化的图像是( )
【答案】 AD 【解析】 到 t1 时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个 过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一 半，根据公式 P＝Fv，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵 引力增大，根据 a＝Ffm－F，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小， 即 v－t 图像的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动， 故选项 A、D 项正确．
考点四 机车启动问题
1．两种启动方式比较
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t 图和 v－t 图
过程 OA 分析 段
P（不变） v↑ ？ F＝ v ↓
F－F阻 ？ a＝ m ↓
F－F阻 a＝ m 不变 ？ F 不变 v↑P＝Fv↑直到 P 额＝Fv1
运动 性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间 t0＝va1
如图甲所示，质量为 1 kg 的物体在与水平方向成 37° 角斜向下的恒定推力 F 作用下沿粗糙的水平面运动，1 s 后撤掉 推力 F，其运动的 v－t 图像如图乙所示．(sin37°＝0.6， cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)下列说法正确的是( )
A．在 0－2 s 内，合外力一直做正功 B．在 0.5 s 时，推力 F 的瞬时功率为 120 W C．在 0－3 s 内，物体克服摩擦力做功为 120 J D．在 0－2 s 内，合外力的平均功率为 6.25 W
【答案】 A 【解析】 m 缓慢运动至右端系统平衡，对 m：F＝μmg＋ FT，对 M：FT＝μmg，小木块对地位移为L2，所以 WF＝F·L2＝μmgL.
考点三 功率的计算
1．平均功率的计算 (1)利用 P＝Wt . (2)利用 P＝Fvcosα，其中 v 为平均速度． 2．瞬时功率的计算 (1)利用公式 P＝Fvcosα，其中 v 为瞬时速度． (2)利用公式 P＝FvF，其中 vF 为速度 v 在力 F 方向上的分速 度． (3)利用公式 P＝Fvv，其中 Fv 为力 F 在速度 v 方向上的分力．
总功的计算 (1)求各个力分别对物体所做功的代数和：W 合＝W1＋W2 ＋…＋Wn. (2)求这几个力的合力对物体所做的功：W 合＝F 合 lcosα
二、功率 物理意义：表示做功的快慢． 定义式：P＝Wt (P 为时间 t 内的平均功率) 推导式：P＝Fvcosα(若 v 为平均速度，则 P 为平均功率；
【答案】 BCD 【解析】 由速度－时间图像结合动能定理可知，0－1 s 内 合外力做正功；1－2 s 内合外力做负功，A 项错误；由牛顿第二 定律可得 Fcos37°－Ff1＝ma1，Ff1＝μ(Fsin37°＋mg)，Ff2＝ μmg＝ma2，将 a1＝10 m/s2，a2＝5 m/s2 代入可得 F＝30 N．由 P ＝Fvcos37°可知在 0.5 s 时，推力 F 的瞬时功率为 120 W，
5．1 功和功率
知识清单
一、功 做功的两个因素：
(1)作用在物体上的力 (2)物体在力的方向上发生的位移．
公式：W＝Flcosα 单位：焦(J) (1)l 是物体对地的位移，α是力与位移的夹角． (2)只适用于恒力做功．
功的正负 (1)α＝90°时，力对物体不做功 (2)0≤α<90°时，力对物体做正功 (3)90°<α≤180°时，力对物体做负功 注意：功是标量，功的正负不表示方向和大小，正功表示动 力做功，负功表示阻力做功．
第五单元 机 械 能
考点内容
要求
命题规律
功和功率 动能和动能定理 重力做功与重力势能
Ⅱ Ⅱ (1)功和功率的计算；
(2)对动能定理、机械能守恒定律、 Ⅱ
功能关系的理解；
功能关系、机械能守恒定律及其应用 Ⅱ (3)与牛顿第二定律相结合考查运动
实验五：探究动能定理
情况和功能关系
实验六：验证机械能守恒定律
人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图中的 a 点运动到 b 点的过程中( )
A．万有引力对卫星一直做正功 B．万有引力对卫星一直做负功 C．万有引力对卫星先做正功，再做负功 D．万有引力对卫星先做负功，再做正功
【答案】 B 【解析】 由于图中万有引力与速度方向夹角大于 90°，故 在此过程中万有引力对卫星做负功，B 项正确．