2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷（银川一中第一次模拟考试）注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.i .设集合 A =「0,2,468,i0?, B = \ x2x-3 “，则 A B =A.人8?B. ^0,2,6?C.「0,2^D.「2,4,6^z 2 +3 2.复数 z =1 —2i ，则-z-1A . 2iB . -2C. -2iD.23•高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况,F 面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A . X i , X 2 , , X n 的平均数B . X i , X 2 , , X n 的标准差 C. X i , X 2 , , X n 的最大值D• X i , X 2 , , X n 的中位数4•已知等比数列｛a n ｝中，有a 3a ii =4a 7，数列｛g ｝是等差数列，其前n 项和为S .,绝密★启用前选了 n 座城市作实验基地, 这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为X i , X 2 , , X n ,A . 26B . 52C T.782 TD . 1045.如图，在ABC 中，AN 二NC , P 是BN 上31一点，若 AP =tAB — AC ，则实数t 的值为32 r2 c1 3A.— B . C .D(53564且6二a ?，则弘二图象上的所有点9.一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为.2的正方形，该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该 球的表面积为1 — 1(T ,T) C . (J ：, ) D . (0, j)eeABCD-A i B -C -D i 中，点p 在线段BG 上运动，则下列判断中正确的是① 平面PBQ _平面ACD ; ②AP 〃平面ACD 1 ；6 •学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。
老师们 目送着大家远去，渐行渐远……•执行如图所示的程序框若输入 x =64, 则输出的结果为A . 2B. 3 C.4D.5 7.双曲线 2C ： x 2 2-y 2 "a0,b0) 和直线-•丄/，若过C 的左焦a b 253点和点 (0, -b)的直线与 l 平行, 则双曲线 C 的离心率为554A.—BCD. 5433y =g(x)的图象，只需将函数A .横坐标缩短为原来的1，再向右平移'个单位得到2 6B .横坐标缩短为原来的-,再向右平移 个单位得到23C.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 匸个单位得到6 ----------------------------------------- D.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 匸个单位得到 3A .二 B. 2 ■:C. 4 -：6 ■:-0.已知函数f(x)(m 1)e x 2(m R)有两个极值点，则实数 m 的取值范围为1 A. [- — ,0]e11.如图，在正方体&已知函数f (x) =sin 2X3， g(x) =sinx ，要得到函数412. 已知函数f (x^,X，若函数g(x) = f (f (x)) -2恰有5个零点，且最小的零点小于ax 3,x 岂 0-4，则a 的取值范围是 A .B . (0, ：：) C. (0,1) D . (1,：：)二、 填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分。
13. ___________________________________________ (1-x)10的展开式中，x 3的系数等于 .工2x - y _ 2I14. 已知实数x,y 满足约束条件 x-y _ -1，若目标函数z =2x • ay 仅在点(3,4)取得最小值，则x y _1a 的取值范围是 ____________ .15. 已知抛物线y 2 =8x 的焦点为F ，直线丨过F 且依次交抛物线及圆(x-2)2 • y 2 =1于点A , B ,C ,D 四点，则|AB| 4|CD|的最小值为 _________________ .16. 已知数列 & 1 的前n 项和为S n ，数列｛^｝的前n 项和为「，满足a 1 = 2 ,1 *3S n =( n • m)a n , ( m R )，且 a n b n.若对任意 n • N ，― T n 恒成立，2贝U 实数•的最小值为 _________ .三、 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分) 17. (12 分)1在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别是a , b , c ，已知a =6 , cosA . 8(1) 若b =5，求sin C 的值；③ 异面直线AP 与AD i 所成角的取值范围是(0, —］；3④ 三棱锥D^APC 的体积不变. A .①②B .①②④C .③④D .①④■ X 」 e_(2) ABC的面积为竺匚，求b c的值.18. （12 分）42014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省•据统计，本次台风造成全省直接经 济损失119.52亿元•适逢暑假，小明调查住在自己小区的 50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图:(1) 台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500元和自身经济损失是否到4000元有关？(2) 台风造成了小区多户居民门窗损坏， 若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维 修，李师傅每天早上在 7: 00到8: 00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7: 30到& 30分之间的任意时刻来到小区，求连续 3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.附：临界值表k o2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P (代》k 。
)0.150.100.050.0250.0100.0050.0012______ n (ad — be) ______参考公式：K =(a + b )( e + d )( a + e )( b + d )， n = a + b + e+ d .19. (12 分)如图所示，ABCD 是边长为2的正方形，AE _平面BCE ，且AE =1. (1) 求证：平面ABCD _平面ABE ;(2) 线段 AD 上是否存在一点 F ，使二面角 A-BF - E 所成角的余弦值为 匕？若存在，请找出点 F 的位置；若不存在,4请说明理由. 20. (12 分)斜率与直线OA 的斜率乘积为经济损失 4000元以下经济损失 4000元以上合 计捐款超过500元 30捐款低于500兀6合计已知点A(1, 3T )在椭圆C:= 1(a b 0)上，O 为坐标原点,直线丨吁-佥二1的(1)求椭圆C 的方程;(2)不经过点A 的直线1 : y =・t ( t = 0且r R )与椭圆C 交于P , Q 两点，P 关于原 2点的对称点为 R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点 M ，N ，求证：AM 二AN • 21 .( 12 分)X —1已知函数f x 二a x 「2In x 厂，a • R. x(1)讨论f x 的单调性；(2)若f x 有两个零点，求实数 a 的取值范围.(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做•则按所做的第一题记 分。
22. ［选修4 — 4 :坐标系与参数方程］(10分)在平面直角坐标系 xOy 中，以0为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐线C 分别交于M,N 两点.(1) 写出曲线C 的直角坐标方程和直线I 的普通方程； (2) 若点P 的极坐标为(2,兀)，PM + PN = 5J2，求a 的值.23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知函数f(x) = x —2(1)求不等式f (X )£X +|x +1的解集;(2)若函数f x =log 2||f x • 3厂f x -2a 」的定义域为 R ,求实数a 的取值范围标方程为=2sin v 2a co^ a 0 ；直线I 的参数方程为I -hr t为参数) .直线I 与曲、选择题：本大题共 12小题，每小题5 分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDBBCCADCBBC113.-120 14.（一"，-2） 15. 13 16.-2三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分）117 .解：(I)由 COS A 一，8则 0 ：： A ，且 sin A =,2 8由正弦定理 sin B = b sin A = 工上,a 16兀9 因为 b ::: a ，所以 0 ::: B ：： A ，所以 cos B =216sin C =s in( A B) =sinAcosB cos A sin B =—4a 2 =b 2c 2 -2bccosA『_220 £ =36 ,8-b 2 c 2 =41， (b c)2 = b 2 c 2 2bc =41 40 =81,••• b c = 9.18.解(1)如下表：经济损失4000元以下经济损失4000元以上 合计 捐款超过500元 30 9 39 捐款低于500兀5611SABCJbcsinA Ac 凶2 2 815 ‘7 4bc =20 ,"2BF =(0, -2,h),•设平面BEF 的一个法向量为n = (x,y,z), 由「BT 0,得于x —^O ,取y’得爲 n B F 丸-2y h^0一 - m n.：63cos m, n ；=' / |m||n| 44 , • h = 1. 4h 2点F 为线段AD 的中点时,” 50 X (30X 6-9X 5 )K 2 = 39X 11X 35X 15〜4.046>3.841.所以有95%A 上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500元和自身经济损失是否到4000元有关.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x , y ，则(x ，y )可以看成平面中的点•试验的全部结果所构成的区域为 Q = {( x , y )|7 < x w 8,7.5 < y w 8.5}，贝U S Q= 1,事件A 表示“李师傅比张师傅 早到小区”，所构成的区域为 A ={(x , y )| y >x , 7w x w 8,7.5 w y w 8.5},即图中的阴影部分面积为1117$= 1 - 2X 2 X 2=8,S A 7所以只耳=s Q = 8，连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数记为，则〜B 吩)21819.解：(I) •/ AE _ 平面 BCE , BE 平面 BCE , BC 平面 BCE , /• AE _ BE , AE _ BC , 又••• BC _ AB ,••• AE" AB = A ,「. BC _ 平面 ABE , 又BC 二平面ABCD ，•平面ABCD _平面ABE .(n)如图所示，建立空间直角坐标系 A-xyz ,AE = 1 , AB = 2 , AE _ BE , - BE = . 3 . 假设线段AD 上存在一点F 满足题意，E (于£o ), B(0,2,0) , F(0,0,h) , (h 0),■易知：平面 ABF 的一个法向量为 m =(1,0,0),^23X 1 t 23)(X 2 -1) ^23X 2 t23)(X 1 1)(X i 1)(X 2 -1)3X ~|X 2 片(为+%2)+73V 3(t 2 -1)+t (-s/3t )+V 3c = =0--K AM K AN =0 ,…AM - AN .21 •解：（1） f x 的定义域为0,=,面角A - BF - E 所成角的余弦值为 —420.解：（1）由题意,K OA K — Q 2b22 ,3a 2b 2 a即a 2 = 4b 2①=1②a = 2联立①①解得|b =1所以, 椭圆C 的方程为:2X XT y=1.设 P(X i ,yJ , Q(X 2,y 2), R(-X i ,-yJ ,Jx t 2得X 2 3tx t 2 -1 =0 ,所以厶=4_t 2 0，即-2 :：:t ：：2 ,又因为 t =0，所以,t (-2,0)U(0,2)，% X 2 二-,3t , X 1 X 2 二『一1 ,解法一：要证明AM =AN ，可转化为证明直线AQ , AR 的斜率互为相反数，只需证明k AM k AN =0，即证明 k AQ k AR =0.y i k AQ ' K AR -y 2 +— x 1 1x 2 -1呼卫拧""I S 』）（""(X i 1)(X 2 -1) (X 1 1)(X 2 -1)(X 1 1)(X 2 -1)12 2 _x (x -2) ax -1(i)当a乞0时，ax2-1：：：0恒成立,x・0,2时，f'(x)・0，f x在0,2上单调递增;x"2「：时，f'(x)：：：0，f x 在2「：上单调递减;(ii)10 时，由f (x) = 0 得，X")= 2, x2, x3 =-V a V a(舍去)，①当1为=X2，即a 时，f (x) _0恒成立,4f X在(0,：：)上单调递增； (3)②当1X1x2，即a时，40, L或x・2「：时，f (x) 0恒成立，f x在10, 1a . a，2,:: 单调递增;时，f(x)：：：0恒成立，f x在,2丿W a丿1 ,2上单调递减;1③当X1 ::: X2 即0 ::： a 时,4:丄，畑i或x^(0,2 )时，f(x)n0恒成立，f X 在(0,2), 1 ,：：单调递增;、a . . a x 2, a ，f (x) ：：： 0恒成立，f x在j 2,—上单调递减;■. a综上，当a^0时，f x单调递增区间为0,2，单调递减区间为2,；时，f x单调递增区间为0,匸：，无单调递减区间;41时，f x单调递增区间为0, 4 2,匸：，单调递减区间为Bl；c a£丄时，f(x )单调递增区间为(0,2),kV a ，单调递减区间为.2,^^]I J a丿⑵由(1)知，当a ：：：0时，f x单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2/:-)，故 g(x )g * =2-2ln 2 o , g(x)在(o, •：：)单调递增.1 12 取 x 0 = max{ ,5}，令 f i (x)二 x 「2ln x , f 2(x) ，则 f 1 '(x) = 1a xx在(2, ：J 成立，故 f i (x) =x-2ln x 单调递增,f i (x o ) _5-2ln 5=1 2(2 - l n 5) ■ 1 ,1 1 111f (X o ) = a(X o —2ln X o )2 乞a22::0 ,x o X oX o X o X o记 g (x) = 2x x ln x -x ，g'(x) =2 1- (1 ln x) -1 二 1- ln x ,2\/x V x1 i，…1丄12仮-1令 h(x)ln x ,则 h x33—如2x 2 X 2x"1・ 厂 )当x •—时，h (x) o , g'(x)在一「：单调递增； 4 14 丿(注：此处若写“当X -.「- ■时，f X )-：： ” 也给分)所以f x 有两个零点等价于f (2)二 a(2 —2ln 2) 1 • o ,得 a1-48-8l n21所以o ・a 丄-8—8ln 2当a =o 时,x -1f (x) 2，只有一个零点，不符合题意;Xf X 在(0, •：：)单调递增，至多只有一个零点，不符合题意； (9)1时，f x 有两个极值,f(2)二 a(2 -2ln 2)1o ， 4f ‘丄】=2需七1 na-a ，/ a1o当ox：f 时，h (x) :: o, g'(x)在o,^ 单调递减.故g(x)g * =2-2ln 2 o , g(x)在(o, •：：)单调递增.1又f (2) =a(2 -2ln 2) •— .0 ,由(1)知，f x 至多只有一个零点，不符合题意.4f 1) 综上，实数a 的取值范围为,0 ..................................... 12分V 8-8ln2 丿22.解：(1)由匸=2sin — 2a COST a . 0，得 =2「sinr 2 "cosr a 0 ， 所以曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2=2y +2ax ，即(x -a j +(y -1 ( = a 2 +1. 由直线I 的参数方程得直线l 的普通方程为y = x•2.x = -221- 2 2 2 — 代入x+y=2y+2ax ，化简并整理，得2t 2 - 3^ 2a t 4a 4=0.因为直线l 与曲线C 分别交于M , N 两点，所以.1二3^ 2a ；； -4 4a 4 0， 解得a ■■ 1 >由一元二次方程根与系数的关系，得1 t2 =3 ,2 J2a ，也=4a 4.又因为a • 0 ,所以讥-0 .因为点P 的直角坐标为 -2,0，且在直线I 上， 所以 PM| + PN| =出 +|t 2 =3V2 + T2a=5血， 解得a = 2，此时满足a 0，且a = 1， 故 a =2.23.解：(1)由已知不等式 f (x )c x + x+1，得 x —2cx + x +1，当x 2时，绝对值不等式可化为 x -2 ：：： x • x T ，解得x • -3，所以x 2 ；1 1当-1 _ x _2时，绝对值不等式可化为 ^x ： x x 1，解得X •—，所以 x _ 2 ；3 3当x ：：： -1时，由2 - x ：：： x - x -1得x 3，此时无解.x —； o 时，g(x )> 0，故ii 分(2)将直线I 的参数方程_ I 亿 y tI 2综上可得所求不等式的解集为一，匸：.13 丿(2)要使函数f x =log2||f x • 3 j亠f x?-2a的定义域为R,只要gx=fx3 fx-2a的最小值大于o即可.又g(x)= +|x —2 —2a 3 3 —2a，当且仅当[—1,2 ]时取等号.3所以只需3 -2a .0，即a .2所以实数a的取值范围是-：：，3 .，2欢迎访问高中试卷网。