绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M={x|1242x ≤≤}，N={x|x-k>0},若M∩N=φ，则k 的取值范围为 A. [)2,+∞ B.（2，+∞） C.（-∞，-1） D.(],1-∞- 2．复数()21i 1i+-等于A ．-1-iB ．1+iC ．1-iD ．-1+i3．下列说法正确的是A ．命题“R x ∈∃使得0322<++x x ”的否定是：“032,2>++∈∀x x R x ” B ．a ∈R,“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件 C ．“p q ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的必要不充分条件理科数学试卷 第1页(共6页)D ．命题p ：“2cos sin ,≤+∈∀x x R x ”，则⌝p 是真命题4．等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)aaa⋅⋅⋅⋅= A ．10B ．20C ．40D ．2+log 255．如图，长方形的四个顶点为)2,0(),2,4(),0,4(),0,0(C B A O ，曲线x y =经过点B ．现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是 A ．125 B ．21C ．32 D ．43 6．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣 小组学习，则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为A ．42105615A A C ⋅B ．615615C AC ．33105615C C C ⋅D ．42105615C C C ⋅ 7．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 A ．2 B ．21C ．-1D ．18．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是A ．10B ．12C ．14D ．159．若c b a ,,均为单位向量，b a ∙21-=，b y a x c +=，),(R y x ∈，则y x +的最大值是 A ． 2B. CD. 110．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋6π）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移6π个单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是 A ．x ＝12π B ．x ＝6πC ．x ＝3πD ．x ＝23π 11．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A ．34πB ．π3C ．πD ．π23 12．在直线2-=y 上任取一点Q ，过Q 作抛物线y x 42=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过的点是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（2，0）D ．（1，0）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式共7项，则该展开式中的常数项为___________.14．在△ABC 中，AB，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于 .15．设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为____________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12(2)n n a S n -=≥，则n a = .三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．(本题满分12分)设函数2()sin(π)2cos 1(0).62f x x x ωωω=--+>直线y =()y f x =图象相邻两交点的距离为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点（,02B）是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求△ABC 周长的取值范围.18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上.(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论; (3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.MFECD BA理科数学试卷 第3页(共6页)19.（本小题满分12分）为迎接2012年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛,其中甲、乙两名运动员为争取最后一个参赛名额进行的7轮比赛的得分如茎叶图所示：（1）若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选3个不低于80且不高于90的得分，求甲的三个得分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；（2）若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于80且不高于90的得分中任选1个，求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列与期望.20. （本小题满分12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(,)-∞+∞．当0x <时，()f x ln()ex x-=．(e 为自然对数的底数)．(1)若函数()f x 在区间1(,)(0)3a a a +>上存在极值点，求实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，则有|OA |2+|OB |2<|AB |2,求a 的取值范围.8甲乙7 95 4 5 4 18 4 4 6 7 4 191请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，圆1O 与圆2O 相交于A 、B 两点，AB 是圆2O 的直径，过A 点作圆1O 的切线交圆2O 于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与 圆1O 、圆2O 交于C ，D 两点。
求证：(Ⅰ)PA ·PD =PE ·PC ；(Ⅱ)AD=AE .23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知圆锥曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x θ(为参数）和定点)3,0(A ,21,F F 是此圆锥曲线的左、右焦点。
(Ⅰ)以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程； (Ⅱ)经过点1F ，且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．已知函数()|1|f x x =-。
(Ⅰ)解不等式()(4)8f x f x ++≥；(Ⅱ)若||1,||1a b <<，且0a ≠，求证：()||()bf ab a f a>.理科数学试卷 第5页(共6页)一、选择题：1.A.2. D.3. B. 4B ．5. C 6． D ．7. B ． 8．A ．9. A ． 10． C ． 11．D ．12． B ． 二．填空题：13．答案：60 14、15、11 16．答案：21(1)23(2)n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 三．简答题17、ABC ∆周长为a+b+c=)320)(6sin(63)sin (sin 323ππ<<++=++A A C A ]9,6(∈………12分 18．(本题满分12分) ===aCB DC AD （Ⅰ）在梯形ABCD 中，CDAB // ，四边形ABCD是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ………4分（Ⅱ）解法一、当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CNB银川一中2014届高三第一次模拟数学（理科）试卷参考答案a EM 33=，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF ………8分解法二：当a EM 33=时，//AM 平面BDF ，由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E ⊄AM 平面BDF ， ∴//AM 平面BDF ⇔ →AM 与→FB 、→FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，使→→→+=FD n FB m AM ，设→→=EF t EM .)0,0,3(a EF -=→，)0,0,3(at EM -=→),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→→→又),21,23(a a a FD --=→，),,0(a a FB -=→，从而要使得：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立，需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-==-an am a an ma an at 210233，解得31=t∴当a EM 33=时，//AM 平面BDF ……8分 （Ⅲ）解法一、取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，GH ，DHEF DG DF DE ⊥∴=,⊥BC 平面ACFE EF BC ⊥∴又FC EF ⊥ ，FB EF ⊥∴，又FB GH // ，GH EF ⊥∴222DB DE BE +=∴DGH ∠∴是二面角D EF B --的平面角. 在BDE∆中,a AB AE BE a DB a DE 5,3,222=+===︒=∠∴90EDB ,a DH 25=∴.又a GH a DG 22,25==.∴在DGH ∆中，由余弦定理得1010cos =∠DGH , 即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010.………12分)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ， )0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E 过D 作EF DG ⊥,垂足为G . 令)0,0,3()0,0,3(a a FE FG λλλ===→→),0,3(a a FG CF CG λ=+=→→→, ),21,233(a a a a CD CG DG -=-=→→→λ 由→→⊥EF DG 得,0=⋅→→EF DG ,21=∴λ),21,0(a a DG =∴→,即),21,0(a a GD --=→ ,//,EF AC AC BC ⊥ EF BC ⊥∴,EF BF ⊥∴∴二面角D EF B --的大小就是向量→GD 与向量→FB 所夹的角. ),,0(a a FB -=→→→→→→→⋅⋅>=<FBGD FB GD FB GD ,cos 1010=即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010. ………12分 19.（本小题满分12分）【解析】（1）有茎叶图可知，甲运动员七轮比赛的得分情况为：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每轮比赛的平均得分为178818485848591847x ++++++==-，显然甲运动员每轮比赛得分中不低于80且不高于90的得分共有5个，分别为81，84，85，84，85，其中81分与平均得分的绝对值大于2，所求概率343525C P C ==。