数 学 试 卷一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列四个命题：①若a b >，则11a b <；②若ab c >，则c a b >；③若a b >，则22a b c c>；④若a b >，c d >，则a c b d ->-．其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+000623y x y x ，则y x z -=的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]3．已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=（*n N ∈）,且32a =，58a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154．《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里？（ ） A. 96B. 48C. 192D. 245．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ） A ．11B ．9C ．15D ．136．下列函数的最小值为2的是（ ）A. xx y 1+= B. )20(sin 1sin π<<+=x x x yC. 21222+++=x x y D. )20(tan 1tan π<<+=x x x y7．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．98B ．158C ．198D ．2788．已知数列{}n a 的通项公式为262n a n =-，要使数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则n 的值为（ ） A ．14B ．13或14C ．12或11D ．13或129．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．24310．不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（ ）A ．52B ．52-C ．2D ．-211．已知0,0x y >> ，则x y +的最小值为( ) A ．3B ．5C ．7D ．912．设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件：99199100100111001a a a a a -⋅-<-＞，＞，；给出下列论:①01q ＜＜； ②9910110a a ⋅-＞；③100T 值是n T 中最大值； ④使1n T ＞成立的最大自然数n 等于198. 其中正确的结论是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题(每小题5分，共20分) 13．对一切R θ∈，恒成立，则实数m 的取值范围是 . 14．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S = .15．若0x >，0y >，且82xy x =-，则x y +的最小值为_________． 16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若211=a ，且nn a a -=+221，则=100S .三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和．18．(12分)解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈.19．(12分)已知等差数列满足：，的前n 项和为，（1）求及；（2）令，求数列的前n 项和.20. (12分)某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 21．(12分)设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值； （2）若()12f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()12n n n a a S +=，数列{}n b 满足：211233333n n n b b b b -++++=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）若11a =，22a =，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .数学答案一、选择题ABCA B D CDBB C B 二、填空题21,⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭14．14 15. 18 16.6425 三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．若113a b ==，42a b =，4212S T -=．（I ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b +的前n 项和． 【解析】（I ）由11a b =，42a b =，则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则231236312a a a d d +=+=+=，所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题249b a ==，即2139b b q q ===，所以3q =.所以3nn b =；（II ）(21)3n n n a b n +=++， 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)n n n ++-=+3(31)(2)2n n n -=++.18. 解关于x 的不等式①当0a =时，原不等式化为②当0a >时，原不等式化为或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为，即2a <-时，解得，即2a =-时，解得1x =-满足题意； ，即20a -<<时，解得综上所述，当0a =时，不等式的解集为当0a >时，不等式的解集为当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a-≤≤.19．已知等差数列满足：，的前n 项和为，（1） 求及；（2） 令，求数列的前n 项和.【解析】 （Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d ，因为，，所以有，解得，所以；==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b n ===，所以==，即数列的前n 项和．20. 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<-+-=)80()10000(1200)800(2504031)(2x x x x x x x L(2)当0<x<80时，L(x)＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．当x≥80时，L(x)＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x·10 000x ＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x ，即x ＝100时，L(x)取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元． 21．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值； （2）若()12f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值； ②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）由已知可知，()2230ax b x +-+=的两根是1,1-所以()21103111b aa-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩ ，解得32a b =-⎧⎨=⎩. （2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当4b a a b=时等号成立， 因为1a b +=，0,0a b >> 解得12,33a b ==时等号成立，此时14a b +的最小值是9.②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立， 00a >⎧∴⎨∆<⎩ ()2280b a ⇒--<， 又因为1a b += 代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+<解得：33a -<<+ 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()12n n n a a S +=，数列{}n b 满足：211233333n n n b b b b -++++=. （1）求证：数列{}n a 为等差数列； （2）若11a =，22a =，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【解析】（1）()12n n n a a S +=，当1n =时，()11112a a a S +==恒成立.当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，相减得到：()()()111122nn n n a a n a a a-+-+-=. 整理得到：()()1121n n n a a n a --+=-，故()111n n n a a na +-+=，相减得到：112n n n a a a +-=+，故数列{}n a 为等差数列. （2）11a =，22a =，故1d =，n a n =.211233333n n n b b b b -++++=，当1n =时，113b =.当2n ≥时，21123113333n n n b b b b ---++++=，相减得到1133n n b -=，故13n n b =.验证1n =时成立，故13n n b =.所以3n nn a n b =⋅，故21323...3n n T n =⨯+⨯++⋅. 23131323...3n n T n +=⨯+⨯++⋅，相减得到：2312333...33n n n T n +-=++++-⋅.整理得到：1(21)334n n n T +-+=.。