两人各投中两次的概率为：P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O所以:作业题解：2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验证其满足(222)式.解:Q QQ Q根据 v P(X = k) =1，得k =0故 a 二 e 「12.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率：(1)两人投中的次数相同；(2)甲比乙投中的次数多.解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6,两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324，两人各投中一次的概率为：并且，P(XP(X P(X P(X= 12) =136 =10)煤=8)嗥；=k)=(=2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)=；36 4P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。

36k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数解:k aeae = 1 ，即 1=1。

k -0 1 - eP(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:(1)两人投中次数相同的概率为 0.0324 0.2016 • 0.0784 = 0.3124(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B 2B I ) P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B ；B,)=2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36 2 0.21 0.36 =0.5628k2.4设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X =k} =—，k =1,2,3,4,5，求15(1) P(1 乞 X <3)(2) P(05：： X ：：：2.5) 1232 解：(1) P(1 乞 X < 3)二15 15 1551 2 1(2)P(0.5 ：：： X :：: 2.5) = P(X =1) P(X 二 2)=15 15 512.5设离散型随机变量 X 的概率分布为P{X =k} ={,k =1,2,3,…，，求(1) P{X =2,4,6 };(2)P{X _3}(2) P{X _3} =1 _P{X =1} _P{X2.6设事件A 在每次试验中发生的概率均为 0.4 ,当A 发生3次或3次以上时,指示灯发出信号，求下列事件的概率：(1)进行4次独立试验，指示灯发出信号；(2) 进行5次独立试验，指示灯发出信号.解：⑴ P(X _3) = P(X =3) P(X =4)二 C ：0.43 0.6 0.44 二 0.1792(2) P(X _3) =P(X =3) P(X =4) P(X =5)二C ；0.43 0.62 Cs0.44 0.6 0.4^0.31744.2.7某城市在长度为t (单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为0.5 t 的 泊 松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率： (1) 某天中午12时至下午15时未发生火灾； (2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.k解：(1) P(X 二k) e_'，由题意，’- 0.5 3 = 1.5,k=0，所求事件的概率为 e _1.5. k!解:1 1 1(1)P{X =246 }〒刃歹=22 (1 * * ) =£ 22 2 3件的概率为1 -3e 2.2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 .现有同类设备180台,且各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的 概率不小于0.99 ？ 解：设应配备 m 名设备维修人员。

又设发生故障的设备数为 X,则X ~ B （180,0.01）。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P （X 岂m ） _ 0.99，也即P(X _ m 1) < 0.01因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为■ = 180 0.01 = 1.8的泊松分布。

查泊松分布表，得，当mH=7时上式成立，得 n =6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9某种元件的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为：1000 “c2 ,x_1000 f （x ）二 x [o, x<1000求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。

解：一个元件使用 1500小时失效的概率为2.10设某地区每天的用电量 X 单位：百万千瓦•时）是一连续型随机变量，概率密度函数 为：假设该地区每天的供电量仅有 80万千瓦•时，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的 供电量上升到90万千瓦•时，每天供电量不足的概率是多少？解：求每天的供电量仅有 80万千瓦•时，该地区每天供电量不足的概率，只需要求出该地区⑵ P(X _2)=1 ee ；'=1-e ^-%e —',由题意，，=0.5 4=1.5，所求事 0!1!P(1000 乞 X 空 1500)二 100015001000 10001500设5个元件使用1500小时失效的元件数为2 dx 二——x x 1000Y ，则 Y ~B(5,3)。

所求的概率为用电量X超过80万千瓦•时(亦即X_0.8百万千瓦•时)的概率：0.8 0.8 2P(X >0.8)=1-P(X 乞0.8)=1- f (x)dx =1 - 0 12x(1-x) dx=1 —(6x2— 8x3+3x4) 0.8=0.0272若每天的供电量上升到90万千瓦•时，每天供电量不足的概率为：0.9 0.9 2P(X》0.9)= 1-P(X 辽0.9)=1- f(x)dx=1- 12x(1-x)dx=1 —(6x2—8x33x4) 0'9=0.00372.11设随机变量K ~U (-2,4),求方程x22Kx 2K 3=0有实根的概率.2 2解：方程x 2Kx 2K 3=0 有实根，亦即：=4K -8K -12 = 4(K -3)(K 1)_ 0 , 显然，当K _3 K空-1时，方程x22Kx 2K 3 = 0有实根；又由于K〜U (-2,4),所求概率为：-—卜2)4-3 =1。

4-(-2) 32.12某型号的飞机雷达发射管的寿命X(单位：小时)服从参数为0.005的指数分布，求下列事件的概率：(1)发射管寿命不超过100小时；⑵发射管的寿命超过300小时；⑶一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.解：(1)发射管寿命不超过100小时的概率：100 100P(X<100)=J° 0.OO5eq005x dx = —eQ005x|o =1_e』.5=0.39⑵发射管的寿命超过300小时的概率：P(X 300) = 1 - P(x ：： 300) =1 -(1-e‘.5) =e'.5=0.223⑶一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间.0.5 0.5 -4.5(1 - e )(e e ) =0.15。

2.13设每人每次打电话的时间(单位：分钟)服从参数为0.5的指数分布.求282人次所打的电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率.解：设每人每次打电话的时间为X, X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为P(X 10) OWe^dx = -e^.5x e^10 10又设282人中打电话超过10分钟的人数为 Y ,则Y ~ B （282,e~ ）。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为，= 282 e'1.9的泊松分布。

所求的概率为P （Y _ 2） =1 - P （Y =0） - P （Y =1）=1 —e 」9—1.9e 」9=1 —2.9e 」9=0.566252.14某高校女生的收缩压 X 单位：毫米汞柱）服“（"。

「厅），求该校某名女生： （1）收缩压不超过105的概率；⑵收缩压在100至120之间的概率.解: （1） P （X 乞 105）=门（105一110）=门（_0.42） =1 _：.：」（0.42）12=1 -0.6628 =0.3372丰 120—110 丰 100—110、（2） P （100 空 X 乞 120） = ■■＞（） 一门（ ）12 12-门（0.83） — ：」（一0.83） =2 ：」（0.83） —1 =2 0.7967 一1 =0.5934 。

2.15公共汽车门的高度是按成年男性与车门碰头的机会不超过 0.01设计的，设成年男性的身高X （单位：厘米）服从正态分布N170, 622）,问车门的最低高度应为多少 ？解：设车门高度分别为 x 。

则：x —170P （X 乞 x ） =1 —0.01 =0.99 =：：」（ ）6x —170查表得，门（2.33） =0.99，因此 2.33，由此求得车门的最低高度应为184厘米。

6解：X 的可能取值为0,1,2。

12 3 32P(X =1) =1一-19 95 95所以X 的分布律为 ________~XT2.16已知20件同类型的产品中有 2件次品， 次，每次只取一件，取后不放回.以X 表示4 布函数.其余为正品.今从这20件产品中任意抽取4 次共取出次品的件数,求X 的概率分布与分因为P （x=0）=迫口址些 2019 1817 1219,；C 2P(X =2)=严 C 20395；X 的分布函数为P(X =2) =1 -0.6 -0.1 =0.3所以X 的分布律为X 的分布函数为・00.6 F(x)二0.9 1,F (…X,1,P{0 :: X :: 3}，P{2 ::X 乞 2.5}.(2)求X 的概率密度函数 f(x)。

解：(1) P(X ::: 2) =F(2) =ln212 1932 953 95・x c012 0 Ex <1価921 兰 xc2 951x £2F(x)二2.18设连续型随机变量 X 的分布函数为:2.17袋中有同型号小球5 取 出的3只中的最小号码 解：X 的可能取值为只，编号分别为123,4,5. 今在袋中任取小球3只,以X 表示,求随机变量X 的概率分布和分布函数 1,2,3。