第二章 练习题（解答）一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为：f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。

解：⎰==≤412021)21(xdx X p649)43()41()2(1223===C Y p2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：f (x) =且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

1()1011()03ax b dx x ax b dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⎰⎰解：解之3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ，DX= 12 4.设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE=+)104(ξD []32161622=-=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax +,10其他<<x 且P （1X 3<）=P(1X>3) ， 则a = ,b =13131011133x dx P X P X ax b dx ax b dx ϕ+∞-∞==⇒+=+⎰⎰⎰（）（<）（>）（）（） 联立解得：4723=-=b a ， ax+b 0<x<1 0 其他6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。

8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。

∴ ϕ(x)=2100x x≥100 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________，P ＝_________________。

EX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210. 设随机变量ξ服从参数为（2，P ）的二项分布，η服从参数为（4，P ）的二项分布，若P （ξ≥1）95，则P （η≥1）＝＝＿65/81＿＿。

解：%2.808165811614014==-=-=q p C o )(1)1(o p p =-=≤ηη31,3294)0(94)1(95)1(2==⇒=∴===〈⇒=≥p q q p p p ξξξ11. 随机变量X ～N （2，σ2），且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿），查表可得（）〈（再代入，由此解出）（）（）〈（）〈（）〈〈（σσσσ2003.022242442000-Φ==-Φ--Φ=-=X P X P X P X P12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望E （x ＋e －2x）= ___4/3________3431110222=+=⋅+=+=+⎰+∞----dx e e EeEX e X E x x XX ）（13. 已知离散型随机变量x 服从参数为2的泊松分布，则随机变量z = 3x －2的期望E (z)＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量x 服从参数为λ的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 则E (x) = __2__. D (x) = __2__22201!2!ee λλλλλλ--=⇒-=∴)0(2舍==λλ15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：=)(x φ⎩⎨⎧≤>-0,00,05.005.0x x e x；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.0727.02.0)10()15()10/15(===>>=>>ξξξξP P P17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=0.168031 解:一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为np =λ ，方差为 np =λ19．x ～N （μ，2σ），P(x ＜－5) ＝0.045，p(x ≤3) ＝0.618，则μ＝＿1.8＿＿＿＿，σ＝＿＿4＿＿＿＿。

二、单项选择：1、设随机变量X 的密度函数为：34x ,0<x<10,(){f x =其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) A ．421B ．42C ．21 D ．1－421 ⎰⎰=∞+=〉dx x a dx x f a a x p 341)()(⎰⎰⎰⎰=⨯=⨯⨯=∞-=〈4313321:4,4,,4)()(a dx dx o a d x o a dx x f a a x p a 解之得联立2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=53, b =－52B ．a=32, b=32C ．a=－21, b=23D ．a=21, b=－23F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a适合52,53-==∴b a3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ）A 、A=21B=πB 、A=21B=π1C 、 A=πB=21D 、A=π1B=21 本题为课堂例题4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为0.6，又已知E （X ）＝1.4，D （X ）＝0.24，则X 的分布律为 （ ）A.B.C.D.① 1.4=EX=0.6X 1+0.4X 2② DX=EX 2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42 联系①、②解得X 1=1，X 2=25．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为 （ ） A ．6元 B ．12元 C ．7.8元 D ．9元 设ξ表示得奖金额，则其分布律为：ξ 6 9 12P31038c c3101228cc c 3102218c c c故期望值为： 7.86. 随机变量X 的概率分布是：X 1 2 3 4P61 a 41b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122C 、a=121, b=125D 、a=41, b=31D b a 故选）（⇒=+-=+127416117. 下列可作为密度函数的是：（ B ） A 、=)(x ϕ 0112x +0≤>x xB 、=)(x ϕ)(a x e -- 其它a x >C 、=)(x ϕs i n x其它],0[π∈xD 、=)(x ϕ3x 其它11<<-x依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。

A 、P （)()x F X =∞= B 、1)(0≤≤x ϕC 、P )()(x X ϕ=∞=D 、P )()(x F x =≤ξ9. 如果)(~x x ϕ，而=)(x ϕ 02x x - 其它2110≤<≤≤x x ，则P （X 5.1≤）=（ C ） A 、⎰-5.10)2(dx x B 、⎰-5.10)2(dx x xC 、0.875D 、⎰∞--5.1)2(dx x解:875.08725.111==-+⎰⎰dx x xdx ）（10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。

（ B ） A ．[0，π] B ．[0.5π, π] C ．[0, 1.5π] D ．[π, 1.5π]解: 依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个数，则EX （ D ） A ．0.75 B ．0.2375 C ．0.487 D ．0.25 此题X 服从二项分布12. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？ （ D ）A ．K ＝（n ＋1）PB ．K ＝（n ＋1）P －iC ．K ＝nPD ．K ＝[（n ＋1）P ]13．设X 服从泊松分布，若λ不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（B ）A ．λB ．[λ]C ．λ－1D ．λ＋1 14. )1,0(~N X ，Y=2X －1，则Y~（ C ）A 、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3）112124412-=-=-===-=EX X E EY DX X D DY ）（，）（15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A ．2B ．1/4C ．1/2D ．22随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216．当满足下列（ D ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。

A ．n λ→∞→np , B ．0,→∞→p nC ．λ→→np p ,0D ．∞→n17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ，97725.0)2(0≈Φ，则}{5p X <和}{20p X >的概率分别为 [ C ]A. 0.0228 , 0.1587B. 0.3413 , 0.4772C. 0.1587 , 0.0228D. 0.8413 , 0.977250228.021510201201201587.08413.011115105500000=Φ-=-Φ-=≤-==-=Φ-=-Φ=-Φ=）（）（）（）〉（）（）（）（）〈（X P X P X P三、计算题：1. 设随机变量X 的密度函数为：A+B=3 AX 0＜X ≤1 B －X 1＜X ≤20 其它试求：（1）常数A 、B 。