和

皆为实变量
输入量
输出量
x
bm S m bm1S m1 b1S b0 an S n an1S n1 a1S a0
y
bm S m bm1S m1 b1S b0 H(s) = an S n an1S n1 a1S a0
对线性时不变系统（线性定常系统）进行分析的理论和方 法最为基础、最成熟，同时其它系统通过某种假设后可近似 作为线性定常系统来处理。一般的测试系统都可视为线性定 常系统，即可以用常微分方程描述的系统。
线性系统的性质：
引起的输出分别为 y1 (t ), y2 (t ) 如输入为 x1 (t ) x2 (t ) 则输出为 y1 (t ) y2 (t )
x1 (t ), x2 (t ) ●叠加性：
x(t ) 引起的输出为 y(t )， 则 ax (t ) 引起的输出为 ay (t ) 。
●比例特性（齐次性）:如
●微分特性： dx (t )
引起的输出为 dy (t )
dt
●积分特性： x(t )dt 引起的输出为
0 t
y(t )dt
0
则线性系统的频响函数为：
Y ( ) bm ( j ) bm1 ( j ) b1 ( j ) b0 H ( j ) n n 1 X ( ) an ( j ) an1 ( j ) a1 ( j ) a0
m m1
• 以 s j 代入（1）式，也可以得到频响函数， 说明频率响应函数是传递函数的特例。
– 任何一个具体的输入量和输出量之间的关系都可以写成下列数 学形式
d n y t d n 1 y t dy t an an 1 a1 a0 y t n n 1 dt dt dt d m x t d m1 x t dx t bm bm1 b1 b0 x t m m 1 dt dt dt
– y：输出量；x：输入量；t：时间 –系统的阶次由输出量最高微分阶次n决定。
举
例
RLC电路，如果输入电压是随时间变化的 ur (t ) ，
其输出是随时间变化的电压 uc (t ) 则可建立输入和输出之间的微分方程： duc (t ) di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt ur (t ), i (t ) C dt C dt
d 2 uc (t ) duc (t ) ur (t ) LC RC uc (t ) 2 dt dt
可见此电路是二阶线性系统，如果电气结构参数R、 L、C在运行过程中不发生变化，则是定常系统。
传递函数(Transfer function)
• 描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数 • 传递函数的定义：x(t)、y(t)及其各阶导数的初始值为零， 系统输出信号的拉普拉斯变换(拉氏变换)与输入信号的拉 氏变换之比，记为 H ( s)
•
线性系统的输出输入关系为：
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy (t ) an an 1 a1 a0 y ( t ) n n 1 dt dt dt d m x (t ) d m 1 x (t ) dx (t ) bm bm 1 b1 b0 x (t ) m m 1 dt dt dt
Y ( s) H ( s) X ( s)
st Y ( s ) y ( t ) e dt 式中 Y ( s ) 为输出信号的拉氏变换 0

X ( s )为输入信号的拉氏变换
s j , 0,
s为拉氏变换算子:
X ( s) x(t )e st dt
0
复频率
3.3.1系统模型的划分

线性系统与非线性系统
线性系统:具有叠加性、比例性的系统

连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统:输入、输出均为连续函数.描述系统特 征的为微分方程.
离散时间系统:输入、输出均为离散函数.描述系统特 征的为差分程.

时变系统与时不变系统: 由系统参数是否随时间而变化决
定.
t
dt
●频率保持性：如
x(t ) x0 e
j0t
则 y(t ) y0 e j (0t )
重要结论：
线性系统具有频率保持特性的含义是输入 信号的频率成分通过线性系统后仍保持原 有的频率成分。如果输入是很好的正弦函 数，输出却包含其他频率成分，就可以断 定其他频率成分绝不是输入引起的，它们 或由外界干扰引起，或由装置内部噪声引 起，或输入太大使装置进入非线性区，或 该装置中有明显的非线性环节。
输出信号
非线性系 统特性
如余弦信号通过非线性 系统（二极管），则输 出被整流，其频率成分 被改变。
频率特性
输入信号
测量系统的广义数学模型
测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛顿定 律、能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而得出的一 组将输入和输出联系起来的数学方程式。 常系数线性微分方程(General Differential equation)
• 将此公式两边作傅里叶变换，在变换过程中利用富 里叶变换的微分性质得：
n n 1 Y ( ) a ( j ) a ( j ) a1 ( j ) a0 n 1 n m m1 X ( ) b ( j ) b ( j ) b1 ( j ) b0 m1 m
作为一种数学模型，和其它数学模型一样，装置的 传递函数与测量信号无关，也不能确定装置的物理结构， 只表示测量装置本身在传输和转换测量信号中的特性或 行为方式。
传递函数以测量装置本身的参数表示出输入与输出之 间的关系，所以它将包含着联系输入量与输出量所必须 的单位。
频率响应函数(Frequency response)