选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( )A ．2n －1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n [答案] C[解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1＝2n ＋1－1.解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C. 2．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项D ．第3、4两项[答案] B[解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( )A ．210B ．120C ．461D ．416[答案] A[解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10.T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 610＝210.4．(2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 48＝70，∴奇数的个数是2，故选A.5．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k＋…＋(－1)n C n n ＝( )A ．2nB ．0C ．－1D ．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D.6．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B ＝( )A ．128B ．129C ．47D ．0[答案] A[解析] A －B ＝37－C 1736＋C 2735－C 3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 8的展开式中x 4项的系数是( ) A ．16 B ．70 C ．560D ．1120[答案] D[解析] 考查二项式定理的展开式．设第r ＋1项含有x 4，则T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x －1)r＝C r 8·2r ·x 16－3r ， ∴16－3r ＝4，即r ＝4，所以x 4项的系数为C 4824＝1120.8．(2010·广东惠州)已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，则(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中含x 4项的系数是该数列的( )A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 [答案] D[解析] ∵(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7展开式中含x 4项的系数是C 45·11＋C 46·12＋C 47·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n －5＝55得n ＝20，故选D.9．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8[答案] C[解析]原式＝(7＋1)n－C n n＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋C n－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.10．(2010·江西理，6)(2－x)8展开式中不含．．x4项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析](2－x)8的通项式为T r＋1＝C r828－r(－x)r＝(－1)r·28－r C r8x r2，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.二、填空题11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)[答案]2009[解析]令x＝0，则a0＝1.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)＝2010－1＝2009.12．(2008·北京·11)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x ＝1，得2n ＝32，得n ＝5，则T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3r＝C r 5·x 10－5r ，令10－5r ＝0，r ＝2.故常数项为T 3＝10.13．(2010·全国Ⅱ理，14)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________.[答案] 1 [解析] 由T r ＋1＝C r 9x9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－a )r C r 9x 9－2r 得 9－2r ＝3，得r ＝3，x 3的系数为(－a )3C 39＝－84，解得a ＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n －1 32[解析] 用不完全归纳法，猜想得出． 三、解答题15．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0.求：(1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0. [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x )2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010(x ∈R )． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2010|的值． [分析] 分析题意→令x ＝1求(1)式的值→ 令x ＝－1求(2)式的值→令x ＝－1求(3)式的值 [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝(－1)2010＝1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝32010② 与①式联立，①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2009)＝1－32010， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2009＝1－320102. (3)∵T r ＋1＝C r 2010·12010－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2010·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2010| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010，所以令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2010＝32010.17．证明：(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .[证明] ∵(1＋x )n (1＋x )n ＝(1＋x )2n ，∴(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )·(C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n )＝(1＋x )2n ，而C n 2n 是(1＋x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理得C 0n C n n ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝C n 2n . ∵C m n ＝C n －m n(0≤m ≤n )， ∴(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n 2n .18．求(1＋x －2x 2)5展开式中含x 4的项． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①n ＝5；②三项的和与差．解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x －2x 2)5＝[1＋(x －2x 2)]5，则T r ＋1＝C r 5·(x －2x 2)r ·(x －2x 2)r 展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k r x r－k ·(－2x 2)k ＝(－2)k ·C k r ·x x ＋k . 令r ＋k ＝4，则k ＝4－r .∵0≤k ≤r,0≤r ≤5，且k 、r ∈N ，∴⎩⎨⎧ r ＝2k ＝2或⎩⎨⎧ r ＝3k ＝1或⎩⎨⎧r ＝4k ＝0.∴展开式中含x 4的项为[C 25·(－2)2·C 22＋C 35·(－2)·C 13＋C 45·(－2)0·C 04]·x 4＝－15x 4.方法二：(1＋x －2x 2)5＝(1－x )5·(1＋2x )5， 则展开式中含x 4的项为C 05·C 45·(2x )4＋C 15·(－x )·C 35·(2x )3＋C 25·(－x )2·C 25(2x )2＋C 35·(－x )3·C 15·(2x )＋C 45·(－x )4·C 05·(2x )0＝－15x 4.。