a
2sin 4-a 2cos 4a 2cos 2a 2sin ,21tan +-=则
252
5-14114
1-a 4asin
2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(2
1
)cosa sin(a βββ-+-+§3.2.2 三角函数化简及证明
编者：任传军
【学习目标 细解考纲】
1． 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简和恒等式证明（包括引出半角、积化和差、和差化积公式，但不要求记忆）；
2．
掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。

【知识梳理、双基再现】
1．cosαcosβ= ；sinαcosβ=
2．sinθ+sinφ= ； sinθ-sinφ= ；
cosθ+cosφ= ； cosθ-cosφ=
【小试身手、轻松过关】
1.已知 的值是（ ） A. B. C. D.
2. 4cos 22sin 2+-等于 （ ）
A. 2sin
B. 2cos -
C. 2cos 3
D.
2cos 3- 3. 等于（ ） A.
cosa B. cos2a C. sina D a 2sin
4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。

【基本训练、锋芒初显】
5. 可化简为（ ）
)2
x 4
tan()4x x tan(--+ππ2x tan 2x tan 20
70sin 020sin -010cos 22123a
a -1tan =θ=++θθθθcos -a 2sin cos a 2sin =-+2a 4sin 82a 2sin 6a 2cos =-+)cos(a )
sin(a ββa)4(2a)sin 4tan(21a 2cos 2+--ππsina sin )cos(a 2sina )a 2sin(β
ββ=+-+ A. ββsin )a 2sin(++- B. )a 2sin(β+-
C. βsin
D. 0
6.化简 等于 A. tanx B. 2tanx C. D. .
7. 的值是（
） A. B. C.3 D. 2 8. )1020tan 3(
010cos 070tan -•等于（ ） 9. 若 （其中0<a<1）化简 10.
11.如果βtna tana,是方程03x 32x =--两根，则 。

12．
化简
13．求证：
【举一反三、能力拓展】
14．讨论函数ααααcos cos )cos(2cos )22cos(2
1)(2x x x x f --+-=的值域、周期性、奇偶性及单调性
15．设()()()z k k m m ∈≠+≠+=πβαβαβ,02sin sin ，
求证：()αβαtan 11tan m m
-+=+
【名师小结、感悟反思】
无论是化简还是证明都要注意：
（1）角度的特点
（2）函数名的特点
（3）化切为弦是常用手段
（4）升降幂公式的灵活应用
）a 4(2cos a)-4cos(a)-42sin(1a 2cos 2-•-πππ
a)-4cos(a)42sin(1a 2cos 2π
π•--
§3.2.2 三角函数化简及证明
【知识梳理、双基再现】
1．12[cos(α+β)+cos(α-β)]；12
[sin(α+β)+sin(α-β)]； 2．2sin 2θϕ+cos 2θϕ-；2cos 2θϕ+sin 2
θϕ-； 3．2cos 2θϕ+cos 2θϕ-；-2sin 2θϕ+sin 2
θϕ- 【小试身手、轻松过关】
1.C
2.D
3.B
4.2sin2
【基本训练、锋芒初显】
5.C.
6.B
7.C
8.C
9.-2
10.cos α 11.32
- 12. 解：原式＝
＝
1a 2cos a 2cos cos2a 1-a 2
cos 2==.sina sin )cos(a 2sina )a 2sin(sina βββ＝得：+-+=
13. 证明 ∵)sina cos(a 2)a 2sin(ββ+-+
=)sina cos(a 2a])sin[(a ββ+-++
＝)sina cos(a 2)sina cos(a )cosa sin(a βββ+-+++
＝)sina cos(a )cosa sin(a ββ+-+
＝a]-)sin[(a β+
＝.sin β
两边同除以
【举一反三、能力拓展】
14.解：ααααcos cos )cos(2cos ]1)(cos 2[2
1)(22x x x x f --+--= =αααα22cos cos cos )cos(22
1)(cos +----x x x =2
1cos ]cos cos 2))[cos(cos(2-+---ααααx x x =2
1cos ]cos cos sin )[sin cos(2-+--ααααx x x =ααα2cos 21)]cos()[cos(++--x x x 2cos 2
1-= ∴)(x f 的值域为]2
1,21[-，周期为π，是偶函数， 当)](2,[Z k k k x ∈+∈πππ时)(x f 是增函数，当)](,2[Z k k k x ∈-∈πππ时)(x f 是减函数。

15. 思路点拨：已知等式中的角有：βαβ+2,
结论等式中的角有：αβα,+
联系：()αβαβ-+=，()αβαβα++=+2
证明：因为()()12sin sin ≠+=m m βαβ
所以()[]()[]αβααβα++=-+sin sin m
所以()()()()αβααβααβααβαsin cos cos sin sin cos cos sin +++=+-+m m 所以()()()()αβααβαsin cos 1cos sin 1++=+-m m
所以()αβαtan 11tan m m -+=
+。