n 40.8
h4 1 ( ) 10 4 180 2
即得n 3.2.故应取n = 4.
复化求积方法又称为定步长方法,复化求积公式,根据预先给 定的精度能估计出合适的步长或n,进而确定对积分区间的等分数, 如同例7一样. 然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出 合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当 困难的。这个是本方法缺点。
xk 1 xk
求和得： f ( x)dx
a
整理得：
式（7-17）称为复化Simpson公式。
W Y

f ( x)dx
b
h [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) f ( xk 1 )] 6


k 0
n 1
xk 1
xk
f ( x)dx
n 1

k 0
n 1
h [ f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) f ( xk 1 )] 6
h [ f (a) 4 f ( xk 1/ 2 ) 2 f ( xk ) f (b)] 6 k 0 k 1


n 1

b a
h f ( x)dx [ f (a) f (b) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1/ 2 ) S n (7 - 17) 6 k 1 k 0
0.3
若用复化求积公式计算积分: I 1 e x dx
0
要求计算结果有四位有效数字,即要求误差不超过10-4 / 2.又因为: f ( k ) ( x) e x 1 x [0,1]
由复化梯形公式误差估计式： RT
h=1/n
即： n 2
因此若用复化梯形公式求积分, n应等于41才能达到精度. 若用复化Simpson公式,由式（7-18）
k 0 k 1
n 1
n 1
(7 - 19)
( ), (a, b)
(7 - 20)
在实验计算中常用的前面三种低价N-C公式，但若积分区 间比较大，直接使用以上三种低阶求积公式，则精度难以保证； 若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出， 当n 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此 不能采用高阶的公式。事实上，增加节点，从插值的角度出发， 必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用 高次插值，亦即不用高阶N-C公式。 为提高精度,当增加求积节点时,考虑对被积函数用分段低次多 项式近似,由此引出复化求积公式:复化梯形和复化辛普生公式.
复化Cotes公式的截断误差为：
2(b a ) h Rc ( f ) I Cn f 945 4
6 ( 6)
W
3.3复化Cotes公式
Y
x k a kh( k 0,1, , n), ba n
h
32 f ( xk 3 / 4 ) 14 f ( xk ) 7 f (b)]
在每个小区间： [ x k , x k 1 ] 上，共五个点：x k , x k 1 , x k 2 , x k 3 , x k 1
4 4 4
用Cotes公式得到复化Cotes公式 ：
n 1 n 1 h Cn [7 f (a ) 32 f ( xk 1 / 4 ) 12 f ( x 2 ) k 90 k 0 k 0 4
n 1 h f (x)dx [ f ( a ) f ( b ) 2 f ( xk )] Tn (7-15) 称为复化梯形公式. 2 k 1
如果f ( x ) C ( 2 ) [a, b], 在小区间 [ xk , xk 1 ]上, 梯形公式的截断误差为 h h3 xk f ( x )dx 2 [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 12 f ( k ) b h 3 n 1 因此：RT ( f ) f ( x )dx Tn f ( k ) a 12 k 0
m 1 连续，故存在(a, b)，使得： f ( ) f ( 4) ( k ) m k 1
RS ( f )
b a h 4 (4) ( ) f ( ) 180 2
(a , b)
(7 - 18)
例
[解 ]
的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 因为当0≤x≤1时有0.3<e-1≤e-x≤1于是：
xk 1
k ( xk , xk 1 )
1 f ( ) b),使得： n
f (
k 0
n 1
k
)
3.2 复化Simpson公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数,即在小区间上用Simpson公 式计算积分近似值,就导出复化Simpson公式。
ba , n 小区间 [ xk , xk 1 ]的中点为xk 1/ 2 , 用Simpson 公式求积分, 则有 : 将区间 [a, b]分成n等分, 分点为xk a kh(k 0,1, , n), h
W
I

1 sinx
作 业
Y
dx

( x)
(k )

1 0
(
dk dxk
cos xt )dt
k

1 0
t k cos(tx
k )dt 2
1 kn 1 ( x) max t cos(tx ) dt `t k dt 0 0 x 1 0 2 k 1

1

将区间[a, b]分成n 等分,分点为：
用分段线性插值函数来近似被积函数,等于把积分区间分成 若干小区间,在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积,即用 梯形公式求小区间上积分的近似值.这样求得的近似值显然比整区 间上用梯形公式计算精度高。————复化梯形公式
W
§3 复化求积公式
Y
小区间[ xk , xk 1 ]( k 0,1,

W Y
用复化梯形求积公式计算积分:
x 要使截断误差不超过10-3 / 2，h应取多大？辛普生公式又怎么样？
0
1 sin x 由于f ( x) cos xtdt , 所以 0 x
f
(k )
故： f
1 h2 h 2 1 1 3 当k 2时, f ( x) RT (1 0) f ( ) 10 3 12 12 3 2 18 1 ba h 0.1342 ,因此可取h 0,125 163 8 8
b a
整理得
由f (x) 在[a, b] 连续,由介值定理,存在(a,
3
从而有： RT ( f ) b f ( x)dx Tn h nf ( ) b a h 2 f ( ) (a, b) (7 - 16) a
12 12
这就是复化梯形公式的截断误差.
W Y
3.1 复化梯形公式
将积分区间[a,b]n等分,记h
ba , xk a kh( k 0,1, n ,n 1 )上用梯形公式并求和, 得
n-1 k 0
,n ).在b a
n 1
xk 1 xk
f ( x )dx
h [ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2
RS h4 f 180
( 4)
例子的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公 式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式 的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。
W Y

1 0
e x dx 1
1 10 4 6
1 2 h2 1 h f ( ) 10 4 12 12 2
W
RS ( f )

a
f ( x )dx
6
[ f (a ) f (b) 2 f ( xk ) 4 f ( xk 1 / 2 )]
k 0 k 0

k 1
m
h h 4 ( 4) ( ) f ( k ) 180 2
k [ x k , xk 1 ]
(4)
(4)(x)

n 1

n 1
如果f (x)C(4)[a, b],由式（7-13）可得复化Simpson公式的截断误 n 1 n 1 公式的截断误差 b 复化Simpson 差为： h
Y
因为f
式（7-18）表明,步长h越小,截断误差越小.与复化梯形公式的分 析相类似,可以证明,当n 时,用复化Simpson公式所求得的近似 值收敛于积分值,而且算法具有数值稳定性.