【摘要】分别利用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对定积分进行运算，得到近似数值解，并对各算法的精度和计算复杂度进行了比较与分析。
数值举例结果表明，三种复化求积分算法的运算结果均在绝对误差限ε=5e-8内，并且在相同的精度下，复化gauss-legendre i型公式的步长和计算量最小。
【关键词】复化梯形公式；复化simpson公式；gauss-legendre公式
1 引言
数值积分是计算数学的基本内容，在工程技术和科学计算中起着十分重要的作用，当积分的精确值不能不能求出时，数值积分就变得越来越重要。
通常数值积分的计算常利用机械积分来实现，其基本思想为：
（1）
2 理论模型
2.1 复化梯形求积公式
将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3…n），在每个子区间[xk，xk+1] （k=1，2，3 …n-1）上采用梯形式，则得到
（2）
记
（3）
上式（3）为复化梯形公式，其余项可由式
，（a≤η≤b）（4）
得
，ηk∈[xk，xk+1] （5）
由于
f（x）∈c2[a，b]
且
，（0≤k≤n-1）（6）
所以?∈（a，b），使
（7）
于是复化梯形公式余项为
（8）
2.2 复化simpson求积公式
将区间[a，b]划分为n等分，在每个子区间[xk，xk+1]上采用simpson式，若记，则得（9）
记
（10）
上式（10）为复化simpson求积公式，其余项可由式
，（a≤η≤b）（11）
得
，ηk∈[xk，xk+1] （12）
于是当f（x）∈c4[a，b]时，与复化梯形公式相似有
，η∈[a，b] （13）
2.3 复化gauss-legendre i型求积公式
gauss型求积公式是具有最高代数精度的插值求积公式。
通过适当选取求积公式（1）的节点ε=5e-8和求积系数ak≥0和xk∈[a，b] （k=1，2，3…n），可使其代数精度达到最高
的2n+1次。
利用特殊区间[-1，1]上n+1次legendre正交多项式的根作为节点，我们可以建立gauss-legendre型求积公式。
将区间[a，b]划分成n等分，分点xk=a+kh（，k=1，2，3 …n），在每个子区间[xk，xk+1]（k=1，2，3…n-1）上采用2点gauss-legendre i型求积公式（14）
在[a，b]区间上的复化积分公式为
（15）
上式（15）称为复化gauss-legendre i型求积公式。
于是当f（x）∈c4[a，b]，时，复化gauss-legendre i型求积公式的余项表达式为，（a≤η≤b）（16）
3 数值举例
先考察下面等式（17）右边定积分的近似值
（17）
分别用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式做运算，求出其在绝对误差限为ε=5e-8内的近似数值解。
假定
（18）
因此
，（19）
所以
，（20）
对于复化梯形公式有
（21）
所以
n≥1791.6 （22）
因此取步长
n=1792 （23）
对于复化simpson求积公式有
（24）
所以
n≥20.1 （25）
因此取步长
n=21 （26）
对于复化gauss-legendre i型求积公式有
（27）
所以
n≥18.2 （28）
因此取步长
n=19 （29）
同理也可以考察等式
和（30）
右端定积分的近似数值值，具体结果见表1。
表1 三种复化算法步长的事前估
函数复化梯形
求积公式复化simpson
求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
1792 21 19
2457 14 12
7019 24 22
表2三种复化算法的计算结果函数复化梯形
求积公式复化simpson 求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
-0.405465126309431 -0.405465118046333 -0.405465098225125
1.820478483584408 1.820478477218769 1.820478423657262
7.389056127230221 7.389056126214707 7.389056073169591
表3 三种复化算法的精度分析
函数复化梯形
求积公式复化simpson
求积公式复化gauss-legendre i型求积公式
1.820126660501e-8 9.938168621381e-9 -9.883039109315e-9
-3.033073325831e-8 -2.396509368729e-8 2.959641309807e-8
-2.829957068684e-8 -2.728405679164e-8 2.576105906371e-8
在绝对误差限为ε=5e-8内，用复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式对所列三个定积分做近似数值解运算，分别利用它们的余项对每种算法做出步长的事前估计，如表1所示。
步长能够反映运算量的大小，步长越大，计算量越大，很显然复化梯形公式计算量比另两种算法大得多并且更加复杂，耗时更长，对计算机硬件要求更高。
表2记录了三种算法对三种定积分运算所得的近似数值解，表3记录了三种复化算法的近似数值解与精确解之间的误差，可以看出三种算法的结果均在绝对误差限ε=5e-8以内，精度达到了要求，但各自相互之间存在差异，精确度也各不相同。
由各算法的步长可知，复化梯形公式、复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式在相同精度的情况下下，其步长依次减小，其次，其计算量也依次递减。
对于，在计算机求解时，我们将步长设为事前估计的1792，所得到的精度满足要求。
但是如果将步长减小1步，即为1791时，结果依然满足要求，甚至将步长减少2步、10步、100步、500步……直到步长减小到1081时所得结果才不满足要求，此时的误差为5.001798630832e-08，不在绝对误差限ε=5e-8内。
尝试了另外几种复化求积公式，也会出现这样的现象。
此现象可以概括为：满足精度的事前估计的步长大于满足精度的实际步长。
这种现象的出现可以作如下解释：在做步长的事前估计时，我们是用函数二阶导数或者四阶导数的最大值来运算的，这种处理方式所得到的步长是一种极限步长（步长最大值）。
然而，在计算机求解时，肯定会出现满足精度的实际步长，并且该实际步长肯定不会大于事前估计步长。
4 结论
一般情况下可以采用复化梯形公式、复化simpson 公式和gauss-legendre 公式可以求出一定精度的近似解，采用复化simpson公式和复化gauss-legendre i型公式的结果可以进一步外推提高精度和降低计算量。
三种复化求积分算法在相同精度的情况下，其步长和计算量依次减小。
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