2019年上海高中数学 强化训练（解三角形）类型一：解三角形1、在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos .（1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.ABC ∆b c C a =+21cos 4、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.且. 5、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.6、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.7、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.8、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；9、如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.10、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.11、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.ABDC12、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.13、、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.14、、已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.15、、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+. （1）求ab； （2）若2223a b c +=，求角B .16、已知ABC ∆中，22sin )()sin ,A C a b B ABC -=-∆（1）求C ∠；（2）求ABC ∆面积的最大值.17、在ABC ∆中，若2222()sin()()sin a b A B a b C +-=-，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形；B .直角三角形；C ．等腰直角三角形；D ．等腰三角形或直角三角形．18、在ABC ∆中,已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =,则cos C = ．19、设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边长依次为c b a 、、，若ABC ∆的面积为S ，且()22c b a S --=，则=-AAcos 1sin ．20、已知ABC ∆的外接圆半径为5，=6,=8,a b 则此三角形 （ ）A ．有一解B .有两解C ．无解D ．不能确定类型二：文字题： 1、追及问题：例1-1 在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A()n 13- mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2n mile 的C 处的缉私船奉命以310n mile/h 的速度追截走私船。

此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？例1-2 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？2、航海问题：例2-1 21、港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？例2-2 某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.例2-3 如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时.（1）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里；（2）若两船能相遇，求m.例2-4 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时.轮船位于港口O北偏西30︒且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明．．理由.例2-5 在某海滨城市有一台风，举监测，当前台风中心位于城市O(如图)东偏南θ（θ=向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北450方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当且半径为60km,并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市受到台风的侵袭？例3-1隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，测得0∠，0ADB=45∠(A、B、C、D在同一平面内)求两目标A、B之间ADC=45ACB=75∠,0BCD=45∠,0的距离。

例3-2 如图1-27所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。

已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)AβCBαD例4-1 如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD .（3）求BC 的长度；（4）在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？例4-2 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β. (1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD 的长（结果精确到0.01米）.ABDCPβα第17题图11 θ A B C5、工程问题：例5-1 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米， BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方）表示成关于x 的函数；（2）求△EMN 的面积S （平方米）的最大值．例5-2 某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为π3（即π3ACB ∠=），墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC ．（1）若π4θ=，求ΔABC 的周长（结果精确到0.01米）； （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积即ABC ∆的面积尽可能大．问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．C （第3题）。