高中数学解三角形题型目录一．正弦定理1.角角边2.边边角3.与三角公式结合4.正弦定理与三角形增解的应对措施5.边化角6.正弦角化边二．余弦定理1.边边边2.边角边3.边边角4.与三角公式结合5.比例问题6.余弦角化边7.边化余弦角三．三角形的面积公式1.面积公式的选用2.面积的计算3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用1.边角互化与三角公式结合2.与平面向量结合3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状4.三角形中的最值问题(1)最大(小)角(2)最长(短)边(3)边长或周长的最值(4)面积的最值(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值(6)基本不等式与余弦定理交汇(7)与二次函数交汇六．图形问题1.三角形内角之和和外角问题2.三角形角平分线问题3.三角形中线问题4.三角形中多次使用正、余弦定理5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用1.利用正弦定理求解实际应用问题2.利用余弦定理求解实际应用问题3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理1.角角边∆=︒=︒=例.在中,解三角形ABC A B a30,45,2,.∆=︒=︒==练习1.在中则ABC A B a c,30,45, .练习2.在中,已知45,,求∆=︒=︒=30.ABC C A a b2.边边角例中，解这个三角形∆===︒ABC a.45,.练习1中,则∆==+==. 1,2,sinABC a b A C B C练习2.中则∆===︒=,3,60,_____ABC c b C A3.与三角公式结合45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ∆====练习在中，则1tan ,150,1. 3ABC A C BC AB ∆==︒==练习2.在中,若,则4.正弦定理与三角形增解的应对措施.ABC b c B C ∆===︒例.在中,已知1,45,求例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形.ABC b c B A ∆===︒练习1.在中,已知1,45,求2,30,.ABC a c A C ∆===︒练习2.在中,求5.边化角.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ∆=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比等于.,,.)cos cos ,________.ABC A B C a b c c A a C A ∆-==练习1在中角､､所对的边分别为､若则.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ∆-=+练习2在中设所对的边分别为若求.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C+=6.正弦角化边.,,ABC A B C A B C B ∆==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求0sin sin .(1);(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c∆+-===练习1.在ABC 中,求若求,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ∆-===练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ∆=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,且则________.二．余弦定理 1.边边边.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则()537254A. B. C. D. 3633ABC AB AC BC A ππππ∆====练习.在中,,,,则2.边角边.,3,30,ABC b c A B C a ∆==∠=例在中已知求角、和边的值.3,1,60,________b c A a ====练习若则3.边边角,,,,2.,,cos ,2,_____3a b ABC A B C c A a c b ∆====例在中已知角所对的边分别为则311cos ,_____4ABC AB BC C AC ∆====练习.在中,，则,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=︒=30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ∆=︒==练习3.在中,已知且则 的值为或无解4.与三角公式结合1tan ,150,1.3ABC A C BC AB ∆==︒==例.在中,若,则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ∆==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____2,,,,23cos cos 20,7,6,_____ABC a b c A A a c b ∆+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c∆+===练习3.在中角､､所对的边分别为､､已知求5.比例问题::2::1),.ABC a b c A B C ∆=+例.已知中,求、、,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ∆==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则bABC A a cπ∠===6.余弦角化边cos 2.,,,,cos C a cABC A B C a b c B B b-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.ABC a b c a c b A C A C b ∆-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求7.边化余弦角()222,A B C D ABC a c b ab C ∆-+=︒︒︒︒︒例.中,则角大小为.60.45,或135.120.3022210,cos2ABC a c b bc A ∆---==练习1.中,则()222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ∆+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角()()3ABC a b c a b c ab C ∆+++-=练习3.在中,,求.三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用6016 ABC ABC A b S c ∆∆=︒===例.在中,,,则1.,1,_____2ABC AB BC B ∆===练习已知的面积是则()()2,,3sin sin sin 6cos cos 13.,,,a ABC A B C a b c ABC AB CB C a ABC ∆∆==∆练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长2.面积的计算30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆例.在中,若求的面积.160, ABC ABC AB AC A S ∆∆===︒=练习.在中,,则3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用sin cos 2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ∆∆+===例.在中,求 的值和120,4,.ABC ABC B b a c S ∆∆=︒=+=练习1.在中,若求12.,1,______2ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π∆=-+=∆练习3.在中角所对的边分别为若则的面积为_____30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆练习4.在中,若求的面积.四．射影定理.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C +=,,.2cos cos cos ,_______ABC A B C a b c b B a C c A B ∆=+=练习1.在中角､､所对的边分别为､若则),,,,cos cos ,cos ______ABC a b c c A a C A ∆-==练习2.在中角所对的边分别为若则五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合,,,,cos sin 0,ABC a b c a C C b c A∆+--=例.在中角所对的边分别为求21.,,,,,,2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小2.,,,,,.2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +==B C3.,,,,,,cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B Ca b c+==4.sin()sin().2442ABC A b C c B a B C πππ∆=+-+=-=练习在中,cos 求证2.与平面向量结合2.,233ABC AB AC AB AC BC A,B,C ∆⋅=⋅=例在已知,求角的大小3.tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ∆⋅=⋅==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值ABC ,,36,3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ∆∆==-=练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知求和,,,,(,),(,) _,//____,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ∆=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ∆=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ∆=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状22sin cos ,cos sin a A BABC ABC b A B∆=∆例.在中,若判断的形状cos sin ABC c a B b a C ∆==练习1.在中,,,判断三角形形状.cos cos ,ABC a A b B ABC ∆=∆练习2.在中,若判断的形状(),,,,,1,cos 1cos ,. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ∆==-∆等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形形等腰直角三角形等腰或直角三角形4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角_________ABC ∆例.已知,则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ∆=+∆练习.已知中,求的最大内角的大小(2)最长(短)边()()13,tan ,tan 45ABC A B C ABC ∆==∆例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ∆==∆练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长0120ABC ABC ∆∆的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,则_____(3)边长或周长的最值3,,,12ABC B C A ABC AB ∆∆例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=+=⎛⎫=--⎪⎝⎭∆练习1.已知函数求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围060,2_____ABC B AC AB BC ∆==+练习2.在中,则的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ∆=+∆=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()25,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ∆++=⋅=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值()()()()() 5.sin 0,0212223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωππ=>>⎛⎫∆==∆ ⎪⎝⎭练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式在中,,,求周长的最大值()()()()()6.sin 2cos 2.312,,,,2,.2x f x m x x f x cABC a b c f B b a π==-∆==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围练习7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．(4)面积的最值,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ∆=+-=-∆例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______()()1.,,,,cos sin .122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ∆=+=∆练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；若求面积的最大值.()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ∆-==∆练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；若求面积的最大值.tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c cC B C C A C AB ∆=∆=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且则____222.,,,,,48,sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ∆+=+=∆=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.练习5．已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3， A=60°,求面积的取值范围；(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ∆+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为______sin 2sin ,cos ABC A B C C ∆=练习1.已知的内角满足则的最小值为______tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A BABC A B C a b c A B B AC +++==,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,11tan ,32tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ∆==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值22,,,,sin (1);(2)sin cos .例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B A B C ∆-==+()()222,,,,,)4sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ∆∆=+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足Ⅰ求角的大小Ⅱ求的最大值222,.(1);(2)cos .练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+(5)基本不等式与余弦定理交汇()()22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ∆=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小当,求的最大值并判断此时三角形的形状()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b ACc ABC ∆-=-=∆练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值(5)与二次函数交汇()()2.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),32()2sin cos2ABC A B C p A A A q A A A p q A C Bf B B B ∆=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小函数取最大值时,的大小()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b CB m A A n k k m n k ∆-===>⋅12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小设，且的最大值为，求的值 练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++． （1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1b =，存在实数x 使得函数()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围． 练习3．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。