五、小波变换的应用领域
事实上小波分析飞应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号 分析、图像处理、量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机 分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大 型机械的故障诊断等方面。 1. 小波分析在地球物理勘探中应用
（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化， 去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。 当需要再利用这些地震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。
可以这样；理解小波变换的含义：打个比喻，我们用镜头观察目标信号 f（t）， Φ（t）代表镜头所起的变化，b 相当于使镜头相对于目标平行移动（代表时域的 变化），a 的作用相当于镜头向目标推进或远离（代表频域的变化）。由此可见， 小波变换有以下特点： 多尺度/多分辨率的特点，可以由粗及细地处理信号。
可以看成用基本频率特性为
的带通滤波器在不同尺度 a 下对信号做滤波。
适当地选择小波，使ψ（t）在时域上为有限支撑，
在频域上也比较集中，就
可以使 WT 在时、频域都具有表证信号局部特征的能力。
7、连续小波变换（CWT）
连续小波变换的定义：
CWTf (a, b) x(t), a,b (t)
R
x(t )
R
离散小波变换的可逆问题—框架理论
DWT 的可逆问题蕴含的是 DWT 的表达式能够完整的表达待分析信号的全
部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了；如果对于所有的待分析信号满
足框架理论条件，那么 DWT 就是可逆的
A x(t) 2
x(t), m,n (t)
2
B
x(t )
2
m,n
A, B R
4、为什么选择小波
小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于 FT 方法，与 STFT 方法比较具有更为明显的优势。
幅度 尺度
时间
小 波 变 换
时间
5、小波变换的定义：
小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多 分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口 大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方 法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有 较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号 的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时， 小波变换具有对信号的自适应性，也是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的 信号处理方法。
（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常 有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处， 地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断 出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。 2. 小波分析用于信号和图像处理
（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及， 许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储 问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此， 伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带 来巨大的经济效益和社会效益。
三、小波包分解算法——精细化处理
小波包可以看作是小波分解的一种推广，利用小波包进行分析可以得到对 信号更为精细的分析结果。通过将低频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细 分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分析信号特征，通过自适应的选 择相应频带，达到与信号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种被时 间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给定的正交小波函数。我们能够在 此基础上生成一组基，这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一个函 数族，可以由这组函数构造出 L2(R)的标准正交基库，从这组标准正交基库中可 以选择出多组标准正交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只是选择 了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是小波变换的一种推广。
会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有 1000 个采样点，经过 滤波分解后，会得到 1000 点的近似分量序列和 1000 点的细节分量序列，这样就 得到了 2000 个采样点数据，在小波变换 Mallat 算法实现中，可以利用降采样的 方法即在输出两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序 列，简单记为 cA 个 cD，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的 一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。
* a ,b
(t )dt
CWTf (a,b) x(t), a,b (t)
R x(t) a,b (t)dt
x(t)
a
1
2
(t
b
)dt
R
a
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子 a 和伸缩因子 b 的函数
伸缩因子对小波的作用
幅度 A
sin(t)---a=1 1
0
-1
0
2
4
6
sin(2t)---a=1/2 1
条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。
(x) ()
() 2
C d
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外
函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势
成分，即满足 (0) (x)dx 0
3、信号的信息表示
时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等， 更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）。
Mallat 算法的降采样
High-pass
S 1000个采样点
D 1000个采样点
High-pass
S 1000个采样点
cD 500个采样点
Low-pass
A 1000个采样点
Low-pass
cA 500个采样点
小波分解树
S
cA1
cD1
cA2
cD2
cA3
cD3
到此我们已经知道离散小波是怎么样分析或怎样分解成一个信号，这个过程 通常也成为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得 到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小 波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换，（Inverse Discrete Wavelet Transform, 简称：IDWT）。在离散小波变换或小波分解的过程中包含了滤波和降 采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波，过采样是通过在相邻采样 点之间插入零值来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两 倍，以达到和需要重构的信号一致的采样数据长度。
在多分辨分析的讨论中，可以看出正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的 过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输 出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应的信号的相 对较低频率分量部分，称为近似分量。对应的快算算法称为 Mallat 算法。
滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解
Rx
(t1
,
t
2
Ex(t) ) Ex(t1
)
xf (
x(t2 )
x)dx Rx
(
mx
),
t2
t1
E x2 (t)
非平稳信号
不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。 信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时 间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由 于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。 时频表示主要 目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析。
1 CWTf (a, b) a 2 ( t b ) 1 dtda
C 0
a a2
8、离散小波变换（DWT）
定义：对尺度参数按幂级数机进行处理，对时间进行均匀离散取值（要求
采样满足拟尼奎斯特采样定理）
m
DWTx(m, n) x(t), m,n (t) 2 2
x(t) (2m t n)dt
x(t)
Cm,n m,n (t )
nZ
二、小波的快速算法——Mallat 算法
正交小波变换与多分辨分析
对于小波基函数为 (t) ，如果函数族
j,k (t) 2 j / 2 (2 j t k ) j, k Z
构成 L2(R)内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变 换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变 换是完全没有冗余的，非诚适合做数据压缩。
四、几种常用的小波简介 经过十多年的发展，科学家们已经设计出了几种在工程技术领域有非 常重要应用的小波函数，在这里做一简单介绍： 1. Morlet 小波，它是高斯包络下的单频率复正玄函数：
这是一个相当适用的小波，它的时。频域局部性能都比较好，由于
ψ（ω）在ω=0 处的斜率很小，所以ψ（ω）在ω=0 处的一、二阶导数也近似 为 0. 2. Marr 小波，也叫墨西哥草帽小波，它是盖斯函数的二阶导数。
6、小波变换原理
小波变换的含义是把某一被称为基本小波（mother wavelet）的函数作位移 τ后，再在不同尺度α下，与待分析信号 X(t)左内积，即
式中，α>0，称为尺度因子，其作用是对基本小波 Φ（t）函数作伸缩，τ反映
位移，其值可正可负，α和τ都是连续变量，故又称为连续小波变换（continue wavelet transform， 简称 CWT）。在不同尺度下小波的持续时间随值的加大而 增宽，幅度则与 a 反比减少，但波的形式保持不变。上式等效的频域表示为：