F() eit f (t)dt
其中 L 1(R ){f(X)| | f(t)|dx
i是虚数单位，ω是频率变量。F(ω)的连续傅里叶逆变换为
f (t)21 eitF()d
1.2 离散傅里叶变换
对于实数或者复数离散时间序列f0, f1,…, FN-1,若
N 1
满足 | f (t ) | ，则称 n0
小波运算的基本步骤：
➢选择一个小波函数，并将这个小波与要 分析的信号起始点对齐； ➢计算在这一时刻要分析的信号与小波函 数的逼近程度，即计算小波变换系数C，C 越大，就意味着此刻信号与所选择的小波 函数波形越相近，如图所示。
➢将小波函数沿时间轴向右移动一个单位时间，然后 重复步骤(1)、(2)求出此时的小波变换系数C，直到覆 盖完整个信号长度，如图所示；
的常数，a和b的选取与小波ψ(t)的具体形式有关。离散小波函数表示
为：
m ,nt
1 a 0 m
tn a b 0 m 0a 0 m 1 a 0 m
a 0 m tn b 0
相应的离散小波变换可以表示为：
W fm ,nf,m ,n ft? m *,ntdt
当a0=2，b0=1时，离散小波变换称为二进离散小波变换，这样便于分析 ，并且适合于在计算机上进行高效的运算。
小波包阈值消噪有两个关键点：1、如何估计阈值；2 如何利用阈值量 化小波包系数。
熵的确定
熵：用来确定最优树的标准，熵值越小，对应的小波包基越好。
1）香农熵：约定0log(0)=0，则香农熵定义为： E ssi2logsi2
2）P范数熵：若P≥1，在lp范数意义上定义E(s)= s i P ,则：
设∑为n个小波系数的平方和，令η= Σ n
则
n
3
，μ= log2 n2
n，
T3=
T2
minT1,T2
(4)基于极大极小原理的Minimax方法
该准则采用的也是一种固定阈值，它产生一个最小均方误差的极值。 具体的阈值选取规则为：
T4=
0.39360.1829log2n n32
0
n32
阈值量化函数的选取
➢ 小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均 具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号 各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号 分类是非常有用的。
➢ 小波变换一个信号为一个小波系数，这样一个 信号可由小波系数来刻画。
2.1 连续小波变换
小波变换是一个平方可积分函数f(t)与一个在时频域上均具有良 好局部性质的小波函数ψ(t)的内积：
。
2.2.3小波包分解
小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又可 以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个 N层分解来说， 有N+1个分解信号的途径。而小波包分析的 细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生 2N个不同的途径。
三 小波变换的一些应用
3.1小波包去噪
基波角频率 1
2， 为 T T1
1 的周f (期t ) 。
直流分量：
a0
1 T1
t0T1 f (t)dt
t0
余弦分量的幅度：an
2 T1
t0T1 t0
f(t)cos(n1t)dt
正弦分量的幅度：bn
2 T1
t0T1 t0
f(t)sin(n1t)dt
1.1 连续傅里叶变换
对于函数f(t)∈L1(R),其连续傅里叶变换为
C
小波函数时间频率窗
部分小波波形
小波分类的标准
➢支撑长度：即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0，长度越小，对奇异点的区分效果越好。
➢对称性：对称性越好，越能保证信号不失真（不产生畸 变），越能提高信号的重构精度。
➢正则性：它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果 作用上是非常有用的。
W f(a ,b ) f,
a,b 1 a f(t)
*(tb)d t a
式中，<* ,*>表示内积，a>0 ,为尺度因子，b为位移因子，*表示复
数共轭，ψa,b(t)称为小波基函数。
a,b t
1 a
t
b a
ψ(t)称为母小波，ψ(t)必须满足容许性条
件：
t dt
0或
Ψω 2
d
狄利克雷条件(Dirichlet Conditions) （1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个； （2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3）在一周期内，信号是绝对可积的
若周期信号 f ( t满) 足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。
傅里叶级数表达式：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(t)a0 [ancos(n 1 t)b nsin(n 1 t)] n 1
yi T yi T
式中，sgn（）为符号函数。
阈值准则
SNR rmse
heursure
11.0062 1.7976
sqtwolog
28.7143 0.7416
rigrsure
11.0062 1.7976
mininmax
21.9542 1.0398
阈值量化函数 SNR RMSE
硬阈值法 13.9391 1.5524
E(s)=
si P
P
s P
i
3)对数能量熵 E(si)= log si2 ，0log(0)=0,则有 i E(s)= logsi2 i
4)阈值熵：
1
E(s)=
0
s i 式中，ɛ是阈值，且ɛ >0. si
阈值选择准则
(1)基于无偏似然估计原理的Rigrsure规则；
W为一向量，其元素为小波系数的平方，并按由小到大的顺序排列， W=[w1,w2,…,wn]，且w1≤w2≤…≤wn，再设一向量R，其元素为：
阈值量化是应用所估计的阈值T，对小波系数进行的处理。目前， 阈值量化函数主要采用两种方法。
一种是硬阈值法，当小波系数大于该阈值时，保留原值，否则置 零，其公式为：
yi
0yi
yi T yi T
另一种是软阈值法，当小波包系数大于该阈值时，向着减小系数 幅值的方向作一个收缩δ，否则置零，其公式为：
yi s0gnyi yi δ
平稳信号是指分布参数或者分布律随时间不发生变化的信 号，也就是统计特性(期望与方差）不随时间变化而变化。
sin(2100t)
X2
ssiinn((22
50t) 25t)
sin(210t)
0t 300 300t 600 600t 800 800t 1000
sin(210t) X2 ssiinn((225205tt))
i
ri=[ n-2i-(n-i)w+ w k ]/n (i=1,2,….,n) k 1
以R元素中的最小值rb为风险值，由rb的下标变量b求出对应的wb，则
阈值T1为：
T1= σ w b
（2）通用阈值T1(sqtwolog准则)
T2= σ 2logn
（3）启发式的stein无偏风险阈值T3（Heursure）准则
加噪信号数学模型为f(t)=s(t)+n(t)，s(t)是原信号，n(t)是随机白噪声， 满足E[n(t)]=0和D[n(t)]=σ2。设Ψ(t)为小波函数，n(t)的小波包变换为
Wn(j,t)=n(t)·Ψj(t)= nt Ψ j t u du
R
n(t)的小波包系数的期望和方差分别为：
E(|Wn(j,t)|2)=0
G f(,)f( t)g ( t ) e i td t f( t) ,g ,t( t) R
其中 g ,t(t)g (t)e i tg (t)ei t ，窗口函数g(t)起着时
限作用，e i t 起着频限作用。该变化具有不变化宽度（由时间 宽度决定）和不变的窗口面积4g∆g∆
短时傅里叶变换示意图
固 定 设 计 模 式
谢谢聆听，请各位批评指正
➢将所选择的小波函数尺度伸缩一个单位，然后 重复步骤(1)、(2)、(3)，如图所示；
➢对所有的尺度伸缩重复步骤(1)、(2)、(3)、(4)。
连续小波变换实例
2.2 离散小波变换
在实际应用中，需要对尺度因子a和位移因子b进行离散化处理，可以
取： aa0m,bnboa0m ， m,n为整数，a0为大于1的常数，b0为大于0
小波变换理论与方法
主要内容
1. 傅里叶变换 2. 小波变换 3. 小波变换的一些应用
一 傅里叶变换
◆ 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier)发表的研究热传导理 论的“热的力学分析”,提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数 之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。
◆ 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式 给出傅里叶级数与积分存在条件的完整证明。
软阈值法 28.7143 0.7416
系统性干扰信号探测
阈值准则
SNR RMSE
噪声消除和系统干扰处理
43.4135 0.3556
小波包阈值消噪
28.7143 0.7416
3.2 小波时频图
可将多分辨分析与连续小波变换结合起来分析信号的特征
3.3 识别信号发展趋势
3.4 无参回归估计
随 机 设 计 模 式
D(|Wn(j,t)|2)=
Ψ t 2
j
3.1.1小波包去噪步骤
① 选择小波基并确定最佳分解的层次,对信号 进行小波包分解; ② 对步骤(1)获得的小波包树,选择一定的嫡标准,计算最优树; ③ 估计阈值,并应用该阈值对最优树的小波包系数进行阈值量化; ④ 将经量化处理的小波包系数,重构回原始信号。
N 1