平面向量知识点小结及常用解题方法
一、平面向量两个定理
1。
平面向量的基本定理 2.共线向量定理.
二、平面向量的数量积
1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.
2。
a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则
（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。
（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终
点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。
四、向量平行(共线）的充要条件
221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.
五、向量垂直的充要条件
12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。
六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===
+七、向量中一些常用的结论
1.三角形重心公式
在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。
2.三角形“三心"的向量表示
(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.
（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；
3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．
4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+
5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±
七．向量问题中常用的方法
(一）基本结论的应用
1。
设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外,2
16,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=
（A )8 (B ）4 （C ） 2 （D ）1
2.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+。
若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立,则m= A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3. 设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，能使||||a b a b =成立的条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =
4。
已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为____________
5。
平面向量(1,2)a =,(4,2)b =，c ma b =+(m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A 、2- B 、1- C 、1 D 、2
6. ABC ∆中13AN NC =，P 是BN 上一点若211
AP AC mAB =+则m=__________ 7.o 为ABC ∆平面内一点,若222222oA BC oB CA oC AB +=+=+则o 是ABC ∆____心
8。
(2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2 .
(二）利用投影定义
9. 如图，在ΔABC 中,AD AB ⊥,3BC =BD ,1AD =，则
AC AD ⋅= （A ）23 （B)32 （C ）33 （D 3
10。
已知点()1,1A -.()1,2B 。
()2,1C --。
()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为
A ．322
B ．3152
C ．322-
D ．3152
- 11设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=
,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC
C ．AC AB =
D ．BC AC = (二）利用坐标法 12。
已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ，090ADC ∠=，2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.
13．(2017课标II 理）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，
()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）2.-A 23.-
B 34.-
C 1.-
D （三)向量问题基底化
14. 在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==则AD BE ⋅=____________．
15。
（2017天津理）在ABC ∆中,60A =︒∠,3AB =，2AC =。
若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________。
16.见上第11题
（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化
例题 1。
ABC ∆中13AN NC =,P 是BN 上一点若211AP AC mAB =+则m=__________ 2. (2017课标I 理)已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ,则=+b a 2
3、如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥,3BC =BD ，1AD =，则
AC AD ⋅= （A ）23 （B ）32 （C ）33
（D 3 17。
设向量a ，b ，c 满足
a =
b =1，a b =1
2-,,a c b c --=060,则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1
18。
若a ，b ,c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ,则||c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1 （C ）2 （D)2
19.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，
B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，
C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，
D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，
20。
已知两个非零向量a ，b 满足｜a +b |=｜a -b ｜，则下面结论正确的是
（A ） a ∥b (B) a ⊥b (C ） （D ）a +b =a -b
（五）向量与解三角形
21．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =。
22.已知平面向量,,(0,0)αβαβ≠≠满足,,(0,0)αβαβ≠≠01,-120βαβαα=与夹角，求取值范围_______
23。
锐角三角形ABC 中0,30oA oB oC A ===若cos cos ..2sin sin B C AB AC moA m C B
+=求。