平面向量的所有公式归纳总结
平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。

平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.
ab+bc=ac.
a+b=(x+x',y+y').
a+0=0+a=a.
2、向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣.
2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'.
3、向量的数量内积的运算律
ab=ba(交换律);
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
4、向量的数量内积的性质
aa=|a|的平方.
a⊥b〈=〉ab=0.
|ab|≤|a||b|.
5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点
（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2.
（2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c.
（3）|ab|≠|a||b|
（4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.
1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣.
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任一.
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.
备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0.
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.
当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.
2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb).
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且
λa=μa,那么λ=μ.
1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
2、向量的向量内积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.
a×a=0.
a‖b〈=〉a×b=0.
3、向量的向量内积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
备注：向量没乘法,“向量ab/向量cd”就是没意义的.
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
①当且仅当a、b逆向时,左边挑等号;
②当且仅当a、b同向时,右边取等号.
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
②当且仅当a、b逆向时,右边挑等号.
定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)
设p1、p2就是直线上的两点,p就是l上不同于p1、p2的任一一点.则存有一个实数λ,并使向量p1p=λ向量pp2,λ叫作点p棕斑向线段p1p2阿芒塔的比.
若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),则有
op=(op1+λop2)(1+λ);(的定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ).(的定比分点座标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式
1、三点共线定理
若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,则a、b、c三点共线
2、三角形战略重点推论式
在△abc中,若ga+gb+gc=o,则g为△abc的重心
3、向量共线的关键条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的关键条件就是xy'-x'y=0.
4、零向量0平行于任何向量.
5、向量横向的充要条件
a⊥b的充要条件是ab=0.
a⊥b的充要条件就是xx'+yy'=0.
6、零向量0垂直于任何向量.。