平面向量常见题型与解题方法归纳
（1）
常见题型分类
题型一：向量的有关概念与运算
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.
例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少
题型二：向量共线与垂直条件的考查
例1（1）,a b为非零向量。

“a b⊥”是“函数()()()
=+⋅-
f x xa b xb a
为一次函数”的
A 充分而不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件
（2）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且
,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的
A.重心 外心 垂心
B.重心 外心 内心
C.外心 重心 垂心
D.外心 重心 内心
例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2
3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间.
例3： 已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(2
1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ＝a ＋(sin α
－3)b , d ＝－k a ＋(sin α)b ,且c ⊥d ，试求实数k 的
取值范围.
例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量
b t a k y b t a x 1)1(2
+-=++=与垂直，求k 的最小值.
题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－
3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量
c ＝(m , n) (m ﹤2π
)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求
实数m 、n 的值.
例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α
巩固练习
1.函数cos(2)26
y x π=+-的图象按向量a 平移到,的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于
.(,2)6
A π-- .(,2)6
B π- .(,2)6
C π- .(,2)6
D π 1.
2.给定两个长度为1的平面向量
和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若
OC xOA yOB
=+其中,x y R∈,则的最大值是________.
,
3给出下列命题
①非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为30°；
②a·b＞0是a、b的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y=|x-1|的图象按向量a=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y=|x|；
④若（AC
AB-）=0，则△ABC为等腰三角AB+）·（AC
形
以上命题正确的是。

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）。