《高等数学(一）》期末复习题一、选择题1、极限)x x →∞的结果是 ( C ）（A ）0 （B ） ∞ （C ）12（D ）不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 (B)有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则⎰dx x f )(是)(x f 的 （ C )（A ）一个原函数； (B ） 一个导函数； (C) 全体原函数; （D ） 全体导函数; 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 ( C ）（A ）2/1 (B) 1 （C ） 2 （D) π5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D )（A)3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）2313+x 6、下列变量中,是无穷小量的为（ A ) (A ） )1(ln →x x (B ） )0(1ln +→x x （C) cos (0)x x → (D) )2(422→--x x x 7、极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ) （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- (D ）不存在 8、函数arctan xy e x =+在区间[]1,1-上 （ A )（A ）单调增加 （B)单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分⎰+dx x x12= （ D ）（A ）2arctan x C + （B ）2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D ）21ln(1)2x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x和直线0=y 所围的面积是 ( A ）（A ）1-e （B ） 1 (C ） 2 （D ） e 11、微分方程dyxy dx=的通解为 （ B ） （A ）2xy Ce = (B ）212x y Ce= （C ）Cxy e= (D ）2x y Ce=12、下列函数中哪一个是微分方程032=-'x y 的解( D ） （A ）2x y = (B ） 3x y -= (C ）23x y -= （D ）3x y = 13、 函数1cos sin ++=x x y 是 （ C ）(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C ）非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当0→x 时， 下列是无穷小量的是 ( B ） （A) 1+x e(B ） )1ln(+x (C ） )1sin(+x (D ） 1+x15、当x →∞时,下列函数中有极限的是 ( A ) （A)211x x +- (B ） cos x (C) 1xe (D ）arctan x16、方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ) (A ）零个 （B ）一个 （C)二个 （D ）三个17、21()1dx x '=+⎰( B ） （A ）211x + （B ）211C x ++ （C ） arctan x （D) arctan x c +18、定积分()baf x dx ⎰是 （ C ）（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 (C ）一个常数 （D ）一个非负常数19、 函数(ln y x =+是（ A ）（A ）奇函数(B ）偶函数（C ） 非奇非偶函数 （D)既是奇函数又是偶函数20、设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且()0f x '>，则( B ) （A)()00f < （B) ()()10f f > （C) ()10f > (D)()()10f f < 21、设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ) （A) 没有渐近线 （B) 仅有铅直渐近线 （C ） 既有水平渐近线又有铅直渐近线 （D ） 仅有水平渐近线22、(cos sin )x x dx -=⎰（ D )（A) sin cos x x C -++ （B ） sin cos x x C -+ （C) sin cos x x C --+ （D ） sin cos x x C ++23、数列})1({nn n-+的极限为（ A ） (A ）1(B ） 1-（C) 0（D) 不存在24、下列命题中正确的是( B ）（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 (C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 25、若()()f x g x ''=,则下列式子一定成立的有( C )（A ）()()f x g x = (B ）()()df x dg x =⎰⎰(C ）(())(())df x dg x ''=⎰⎰（D ）()()1f x g x =+ 26、下列曲线有斜渐近线的是 ( C ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ (C ）1sin y x x =+ (D ）21sin y x x=+二、填空题 1、 201cos limx x x →-=122、 若2)(2+=xe xf ，则=)0('f 23、131(cos 51)x x x dx --+=⎰24、 =⎰dx e t te x C +5、微分方程0y y '-=满足初始条件0|2x y ==的特解为 2xy e =6、224lim 3x x x →-=+ 07、 极限 =---→42lim 222x x x x 438、设sin 1,y x x =+则()2f π'= 19、11(cos 1)x x dx -+=⎰210、231dx x +⎰ 3arctan x C +11、微分方程ydy xdx =的通解为 22y x C =+ 12、1415x dx -=⎰213、 sin 2limx x xx→∞+= 1 14、设2cos y x =，则dy 22sin x x dx - 15、设cos 3,y x x =-则()f π'= -1 16、不定积分⎰=x x de eC x+2e 21 17、微分方程2xy e-'=的通解为 212xy e C -=-+ 22222222222111120,201122x x x xx xx dy y y e y e dy e dx dx ydy e dx e C y y x y C e y e y -'=⇒=⇒==⇒-=+==-=-==-⎰⎰代入上式可得到所求的特解为或者18、微分方程x y ='ln 的通解是 xy e C =+ 19、xx x3)21(lim -∞→＝ 6e-20、,x y x y '=设函数则x21、)21(lim 222nnn n n +++∞→ 的值是 1222、3(1)(2)lim23x x x x x x →∞++=+- 1223、,x y x dy ==设函数则(ln 1)x x x dx +24、 20231lim 4x x x x →-+=+1425、若2()sin6xf x e π=-,则=)0('f 226、25(1sin )a ax dx π++=⎰2π ().a 为任意实数27、设ln(1)xy e =-，则微分dy =______1xxe dx e -__________。

28、 3222(cos )d 1x x x x ππ-+=-⎰ 2 三、解答题1、（本题满分9分)求函数y =的定义域.解：由题意可得，1020x x -≥⎧⎨-≥⎩解得12x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 ［1，2］ 2、（本题满分10分）设()(1)(2)(2014)f x x x x x =---，求(0)f '.解：)0(f '000--=→x f x f x )()(limlim(1)(2)(2014)x x x x →=---2014!=3、（本题满分10分)设曲线方程为16213123+++=x x x y ,求曲线在点)1,0(处的切线方程.解:方程两端对x 求导，得26y x x '=++ 将0x =代入上式，得(0,1)6y '=从而可得：切线方程为16(0)y x -=- 即61y x =+4、（本题满分10分)求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积.解：作平面区域,如图示y解方程组⎩⎨⎧==2xy x y 得交点坐标：（0,0），（1，1）所求阴影部分的面积为:dx x x S )(⎰-=102=103232⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x =61 5、（本题满分10分）讨论函数 2 1()3 1x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩ 在 1x = 处的连续性。

解：11lim ()lim 23(1)x x f x x f ++→→=+== 11lim ()lim 33(1)x x f x x f --→→=== ∴()f x 在1x = 处是连续的6、（本题满分10分）求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=+==3321x y x dx dy|的特解。

解：将原方程化为 dx x dy )(32+=两边求不定积分，得 dx x dy ⎰⎰+=)(32,于是23y x x C =++ 将31==x y |代入上式，有313C =++,所以1C =-， 故原方程的特解为132-+=x x y 。

7、（本题满分9分）求函数 y =的定义域. 解：由题意可得，4050x x -≥⎧⎨-≥⎩解得45x x ≥⎧⎨≤⎩所以函数的定义域为 ［4，5］8、（本题满分10分）设()(1)(2)()(2)f x x x x x n n =+++≥，求(0)f '.解:)0(f '000--=→x f x f x )()(limlim(1)(2)()x x x x n →=+++!n =9、（本题满分10分）设平面曲线方程为33222=+-y xy x ,求曲线在点（2，1）处的切线方程。

解：方程两端对x 求导，得0622='+'+-y y y x y x )( 将点(2，1）代入上式，得112-='),(y从而可得：切线方程为)(21--=-x y 即03=-+y x10、（本题满分10分）求由曲线xy e =及直线1=y 和1=x 所围成的平面图形的面积(如下图）．解：所求阴影部分的面积为10(1)x S e dx =-⎰10()x e x =-2e =-11、（本题满分10分)讨论函数 0() 1 0xx x f x e x <⎧=⎨-≥⎩ 在 0x = 处的连续性。