高等数学1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

（B ）())(x f e f e x x +---。

（C ） ())(x f e f e x x --- 。

（D ）())(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ ）。

（A ）)3(,1πf a =是极小值。

（B ）)3(,1πf a =是极大值。

（C ）)3(,2πf a =是极小值。

（D ）)3(,2πf a =是极大值。

三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分）1、求 )1ln(sin 1tan 1lim 30x xx x ++-+→2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。

3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx yd dx dy 、。

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。

5、求不定积分 dx xxx ⎰3cos sin 。

6、求定积分dx x ⎰cos 4。

7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin )(22x xex xx f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。

四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。

五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。

（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

六、（本题8分）设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。

(8分)答案一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a ln 2 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断0 ，第二类间断点是 2 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1⎰+=，则=)(x f1x - 。

5、xdx arctan 1⎰=4π-。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ D ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ C ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ C ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ A ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

（B ）())(x f e f e x x +---。

（C ） ())(x f e f e x x --- 。

（D ）())(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值，则（ D ）。

（A ）)3(,1πf a =是极小值。

（B ）)3(,1πf a =是极大值。

（C ）)3(,2πf a =是极小值。

（D ）)3(,2πf a =是极大值。

三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 )1ln(sin 1tan 1lim3x xx x ++-+→3300300lim lim2ln(1)1tan sin 1lim 24x x x x x x x x x →→→→=+-===解：（分）（6分）2、设4lim 221=-++→xx b ax x x ，求 b a 、。

212211lim()010,(1)(22lim lim 242, 3.(621x x x x ax b a b b a x ax b x a a a b x x x →→→++=⇒++==-++++==+=⇒==---解：分）分）3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=tt y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y d dx dy 、。

()()2222222223222(3112212(624dy t t tt t dx tt td y d t dtdx dtt dx t ++==++-+⎛⎫+==⎪⎝⎭解：分）分）4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dxx df x )(sin lim 20+→ 。

22002(sin lim lim[(sin (4lim[(sin (0)(4x x x df f dx f f +++→→→'=''=解：分）=分）5、求不定积分 dx xxx ⎰3cos sin 。

233222sin (cos )1(cos )(2cos cos 211[][tan ](62cos cos 2cos x x xd x dx xd x x x x dx x x C x x x--===-=-+⎰⎰⎰⎰解：分）分）6、求定积分dx x ⎰cos 40。

422200,2,0,0;4, 2.22cos 2[sin sin ]2(2sin 2cos 21)t dx tdt x t x t t tdt t t tdt ======∴==-=+-⎰⎰⎰（分）（6分）7、设⎩⎨⎧≥<=-0sin )(22x xex xx f x ， 求 ⎰-dx x f )2(31 。

22231012111111201002,,1,1;3, 1.21cos 2(2)()sin 21111()[sin 2]2222121[sin 2]4x x x x t dx dt x t x t xf x dx f t dt xdx xedx dx e d x x x e e--------====-==-∴-==+=--=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令（分）（4分）（6分）四、证明下列不等式（本题10分） 1、)2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x； 2、2sin 12ππ<<⎰dx x x 。

证明：设sin (0,)()21xx f x xx π⎧∈⎪=⎨⎪=⎩则函数在0x =处连续，且 22cos sin cos ()(tan )0,(0,)32x x x x f x x x x x x π-'==-<∈（分）所以，当(0,)2x π∈时，()f x 单调减少，2sin ()(0)162x f f x f x ππ⎛⎫⇒<<∴<< ⎪⎝⎭（分）220022sin sin ,(0,).110222xx x x x dx dx x πππππππ∴<<∈⇒=<<=⎰⎰（分）五、（本题10分）设 00)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x xe x g xf x ，其中)(xg 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。

（1）求)(x f '； （2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

200000()0()(0)()1(0)lim lim lim ()()(0)1lim lim 222xxx x x x xx x g x e f x f g x e x f x x x g x e g x e g x --→→→--→→----'==='''''+--===解：（）（3分） 222(())(()()()(1)()()()(1)0()(6)(0)102x x xxx g x e g x e xg x g x x e f x x x xg x g x x e x x f x g x ----''+---++'=='⎧-++≠⎪⎪'∴=⎨''-⎪=⎪⎩）分（2）当0x ≠时,()f x '连续.当0x =时,200()()(1)1lim ()lim [(0)1](0)2x x x xg x g x x e f x g f x -→→'-++''''==-= 所以, )(x f '在),(+∞-∞上都连续. (10分)六、（本题8分）11 设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-。