专题层级快练(十九)
1．若a>2，则函数f(x)＝13
x 3－ax 2＋1在区间(0，2)上恰好有( ) A ．0个零点
B ．1个零点
C ．2个零点
D ．3个零点
答案 B
解析 ∵f ′(x)＝x 2－2ax ，且a>2，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x)<0，即f(x)是(0，2)上的减函数．
又∵f(0)＝1>0，f(2)＝113
－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．故选B. 2．已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln2－2]
解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解． 令函数g(x)＝2x －e x ，则g ′(x)＝2－e x ，令g ′(x)＝0，得x ＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为g(ln2)＝2ln2－2.因此，a 的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a ∈(－∞，2ln2－2]．
3．(2020·合肥市一诊)已知函数f(x)＝xlnx －ae x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．
答案 ⎝⎛⎭
⎫0，1e 解析 f ′(x)＝lnx ＋1－ae x ，x ∈(0，＋∞)，若f(x)＝xlnx －ae x 有两个极值点，
则y ＝a 与g(x)＝lnx ＋1e x 有2个交点． g ′(x)＝1x －lnx －1e x
，x ∈(0，＋∞)． 令h(x)＝1x －lnx －1，h ′(x)＝－1x 2－1x
<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，且h(1)＝0. ∴当x ∈(0，1)时，h(x)>0，g ′(x)>0，g(x)单调递增．
当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0，g ′(x)<0，g(x)单调递减．
∴g(x)极大值＝g(1)＝1e
. 当x →0时，g(x)→－∞，当x →＋∞时，g(x)→0.
∴若y ＝a 与g(x)在(0，＋∞)有2个交点，则0<a<1e
. 4．(2018·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝13
x 3－a(x 2＋x ＋1)． (1)若a ＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
答案 (1)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增；在(3－23，3＋23)单调递减 (2)略
解析 (1)当a ＝3时，f(x)＝13
x 3－3x 2－3x －3，f ′(x)＝x 2－6x －3.令f ′(x)＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.
当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)上单调递增；在(3－23，3＋23)上单调递减．
(2)证明：由于x 2＋x ＋1>0，所以f(x)＝0等价于x 3x 2＋x ＋1
－3a ＝0. 设g(x)＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x)＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2
≥0，仅当x ＝0时g ′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝⎛⎭⎫a －162－16<0，f(3a ＋1)＝13
>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．
5．(2019·东北四校联考)已知f(x)＝1x ＋e x e －3，F(x)＝lnx ＋e x e
－3x ＋2. (1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
答案 (1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增 (2)3个
解析 (1)f ′(x)＝－1x 2＋e x e ＝x 2e x －e ex 2
， 令f ′(x)＞0，解得x ＞1，令f ′(x)＜0，解得0＜x ＜1，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(2)F ′(x)＝f(x)＝1x ＋e x
e
－3， 由(1)得f(x)min ＝f(1)＝－1，则∃x 1，x 2，满足0＜x 1＜1＜x 2，
使得f(x)在(0，x 1)上大于0，在(x 1，x 2)上小于0，在(x 2，＋∞)上大于0，
即F(x)在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，x →0时，F(x)→－∞，x →＋∞时，F(x)→＋∞，
画出函数F(x)的草图，如图所示．
故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．
6．已知函数f(x)＝(2－a)(x －1)－2lnx(a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在⎝⎛⎭
⎫0，13上无零点，求a 的取值范围． 答案 (1)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞) (2)[2－3ln3，＋∞) 解析 (1)当a ＝1时，f(x)＝x －1－2lnx ，定义域为(0，＋∞)，
则f ′(x)＝1－2x ＝x －2x
，由f ′(x)＞0，得x ＞2，由f ′(x)＜0，得0＜x ＜2. 故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)． (2)因为f(x)＜0在区间⎝⎛⎭
⎫0，13上恒成立不可能， 故要使函数f(x)在⎝⎛⎭
⎫0，13上无零点， 只要对任意的x ∈⎝⎛⎭
⎫0，13，f(x)＞0恒成立， 即对x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，a ＞2－2lnx x －1
恒成立． 令h(x)＝2－2lnx x －1
，x ∈⎝⎛⎭⎫0，13， 则h ′(x)＝2lnx ＋2x －2（x －1）2
，
再令m(x)＝2lnx ＋2x
－2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，13， 则m ′(x)＝－2（1－x ）x 2
＜0， 故m(x)在⎝⎛⎭
⎫0，13上为减函数． 于是m(x)＞m ⎝⎛⎭⎫13＝4－2ln3＞0.
从而h ′(x)＞0，于是h(x)在⎝⎛⎭
⎫0，13上为增函数， 所以h(x)＜h ⎝⎛⎭⎫13＝2－3ln3，
所以a 的取值范围为[2－3ln3，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝lnx －2x 2＋3，g(x)＝f ′(x)＋4x ＋alnx(a ≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x 的方程g(x)＝a 有实数根，求实数a 的取值范围．
答案 (1)f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间为⎝⎛⎭
⎫12，＋∞ (2)a ∈(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 (1)依题意，得
f ′(x)＝1x －4x ＝1－4x 2x ＝（1＋2x ）（1－2x ）x
，x ∈(0，＋∞)． 令f ′(x)>0，即1－2x>0，解得0<x<12
； 令f ′(x)<0，即1－2x<0，解得x>12
， 故函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，单调递减区间为⎝⎛⎭
⎫12，＋∞. (2)由题意，得g(x)＝f ′(x)＋4x ＋alnx ＝1x
＋alnx ， 依题意，方程1x
＋alnx －a ＝0有实数根， 令h(x)＝1x ＋alnx －a ，即函数h(x)＝1x
＋alnx －a 存在零点． 又h ′(x)＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，令h ′(x)＝0，得x ＝1a
. 当a<0时，h ′(x)<0，
即函数h(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，
而h(1)＝1－a>0，h(e1－1a )＝1e1－1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a －a ＝1e1－1a
－1<1e －1<0， 所以函数h(x)存在零点．
当a>0时，h ′(x)，h(x)随x 的变化如下表：
所以h ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ＋aln 1a
－a ＝－alna 为函数h(x)的极小值，也是最小值． 当h ⎝⎛⎭⎫1a >0，即0<a<1时，函数h(x)没有零点；
当h ⎝⎛⎭⎫1a ≤0，即a ≥1时，
h(1)＝1－a ≤0，h(e)＝1e ＋a －a ＝1e
>0， 所以函数h(x)存在零点
综上所述，当a ∈(－∞，0)∪[1，＋∞)时，
方程g(x)＝a 有实数根．。