高二数学下学期期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若),0(,∞+∈b a ，则“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（ ）． （A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件；（C ）充要条件； （D ）既不充分也不必要条件． 2．经过点（0，0），且与以（2，－1）为方向向量的直线垂直的直线方程为（ ）． （A ）02=+y x ； （B ）02=-y x ； （C ）02=+y x ； （D ）02=-y x ．3．已知动点P （x ，y ）满足y x y x +=+-22)1(，则点P 的轨迹是（ ）．（A ）椭圆； （B ）双曲线； （C ）抛物线； （D ）两相交直线． 4．（文科）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； ②如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④如果两条直线同垂直一个平面，那么这两条直线平行． 其中真命题的个数是（ ）．（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1．（理科）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）． （A ）平行； （B ）相交； （C ）垂直； （D ）互为异面直线． 5．若关于x 的不等式a x x <++-11的解集为∅，则实数a 的取值范围为（ ）． （A ）)2,(-∞； （B ）]2,(-∞； （C ）),2(∞+； （D ）),2[∞+．6．已知直线l ：2+=ax y 与以A （1，4）、B （3，1）为端点的线段相交，则实数a 的取值范围是（ ）． （A ）31-≤a ； （B ）231≤≤-a ； （C ）2≥a ； （D ）31-≤a 或2≥a ． 7．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x )0(>a 及直线l ：03=+-y x ．当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则=a （ ）．（A ）2； （B ）22-； （C ）12-； （D ）12+．8．已知点A （3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在抛物线上移动，当PF PA +取得最小值时，点P 的坐标是（ ）． （A ）（0，0）； （B ）（2，2）； （C ）（－2，－2） （D ）（2，0）．9．（文科）已知0>a ，0>b ，121=+ba ，则b a +的最小值是（ ）． （A ）24； （B ）223+； （C ） 22； （D ）5．（理科）已知4≥x ，则42542-+-=x x x y 有（ ）．（A ）最大值45； （B ）最小值45； （C ）最大值1； （D ）最小值1． 10．点P 是双曲线112422=-y x 上的一点，1F 和2F 分别是双曲线的左、右焦点，021=⋅PF PF ，则21PF F ∆的面积是（ ）．（A ）24； （B ）16； （C ）8； （D ）12．11．如图1，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90，且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ）． （A ）21arctan； （B ）2arctan ； （C ）32arctan； （D ）3arctan ． 图112．（文科）已知椭圆)0(12222>>=+b a bya x 12P 在椭圆上，且213PF PF =，则此椭圆的离心率的最小值为（ ）．（A ）32； （B ）21； （C ）31； （D ）41． （理科）已知E 、F 是椭圆12422=+y x 的左、右焦点，l 是椭圆的一条准线，点P 在l 上，则∠EPF 的最大值是（ ）．（A ）15； （B ）30； （C ）45； （D ）60．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．m ，n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题： ①若α⊥m ，β//n ，βα//，则n m ⊥； ②若n m ⊥，βα//，α⊥m ，则β//n ； ③若n m ⊥，βα//，α//m ，则β⊥n ； ④若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ．其中真命题的编号是 ．（写出所有真命题的编号）14．对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，则实数m 的取值范围 ．15．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+,02,02,1y x y x y x 则目标函数y x z +=2的最大值是 ．16．已知抛物线088222=--+-y x y xy x 的对称轴为0=-y x ，焦点为（1，1），则此抛物线的准线方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设0>a ，解关于x 的不等式：11)2(<--x x a ．18．（12分）过抛物线px y 22=的焦点的一条直线和此抛物线相交于两个点A 、B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交准线于点M ．求证：（Ⅰ）2p y y B A -=；（Ⅱ）直线MB 平行于抛物线的对称轴． 19．（12分）如图2，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥CD ．（Ⅱ）在棱PD 上是否存在一点E ，使得AE ∥平面PMC ？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图3，过圆222R y x =+上的动点P 向圆222r y x =+（0>>r R ）引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，求△MON 面积的最小值．21．（12分）已知R b a ∈,，1>x ， 求证：22222)()1(b a b x x a x +≥-+． 22．（14分）文科做（Ⅰ）、（Ⅱ）；理科做（Ⅰ）、（Ⅲ）．已知点B （2，0），)22,0(=OA，O 为坐标原点，动点P 34=-++． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）当m 为何值时，直线l ：m x y +=3与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？ （Ⅲ）是否存在直线l ：)0(≠+=k m kx y 与轨迹C 相交于不同的两点M 、N ，且满足BN BM =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案与提示:一、选择题1—5 BDBCB ； 6—12 BCBBD BB ． 提示：1．由0)1)(1(10,10122>--⇒<<<<⇒<+b a b a b a b a ab +>+⇒1； 反之由0)1)(1(>--b a 不能推得10,10<<<<b a ．故“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的充分非必要条件．选（B ）． 2．由题设知已知直线的斜率为21-，∴所求直线的斜率为2； 又所求直线过原点，故02=-y x 为所求．选（D ）．3．由题设知动点P 到定点（1，0）的距离和它到定直线0=+y x 的距离的比是常数2，根据双曲线的第二定义可得点P 的轨迹为双曲线．选（B ）． 4．（文科）①、④正确，选（C ）．（理科）对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ； 若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m ⊥l ．故选（C ）．5．由2)1()1(11=++-≥++-x x x x 知2≤a ．选（B ）．6．由A （1，4）、B （3，1）在直线l 上或其异侧得0)13)(2(≤+-a a ． 解得231≤≤-a ．选（B ）． 7．设截得的弦为AB ，圆心为)2,(a C ，作AB CH ⊥于H ，则由平几知识得1=CH ．由此得1232=+-=a CH ，解得12-=a ．选（C ）． 8．点A 在抛物线含焦点区域，过A 作AP 垂直于抛物线的准线交抛物线于点P ，则由抛物线的定义知点P（2，2）为所求点．选（B ）．9．（文科）22323)21)((+≥++=++=+abb a b a b a b a ，选（B ）． （理科）令)2(2≥-=t x t ，则)1(214254)(2tt x x x t f +=-+-=．)(t f 在),2[+∞上是单调递增函数，故y 的最小值是45)2(=f ．选（B ）．10．由021=⋅PF PF6442==+c42±=±=-a ．∴2121=∆PF FS 12．选（D ）．11．如图，过B 作BD ∥CA ，且满足BD ＝CA ， 则∠PBD 为PB 与AC 所成的角． 易得四边形ADBC 为正方形， 由PA ⊥平面ABC 得BD ⊥PD ． 在Rt △PDB 中，a PD 2=，a DB =，2tan ==∠DBPDPBD ．选（B ）． 12．（文科）由题设和焦半径公式得)(442221P ex a PF PF PF a -==+=．a x P ≤<0．∴ea ex a P 22≤=．即21≥e ．选（B ）． （理科）不妨设右准线l 交x 轴于点A ，由平几知识知过E 、F 的圆且与l 相切于点P 时，∠EPF 最大．由圆幂定理得62232=⋅=⋅=AF AE AP ．易得∠FPA ＝30，∠EPA ＝60，从而∠EPF ＝30为所求最大值，故选（B ）． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．①、④； 14．∞+-,12[）； 15．35； 16．02=++y x ． 提示：13．②、③为假命题；①、④为真命题．14．设点)sin 1,(cos θθ+P ，由题设得0sin 1cos ≥+++m θθ． 即θθsin 1cos ++=≤-u m 恒成立．而211)4sin(2-≥++=πx u ，∴21-≤-m ．故m 的取值范围为∞+-,12[）． 15．如图，作出不等式表示的可行域（阴影部分） 和直线l ：02=+y x ，将l 向右上方平行移动，使其经过可行域内的点Ａ)31,32(时，y x z +=2取得最大值．故当32=x ，31=y 时，35max =z ．16．对称轴0=-y x 与抛物线的交点（0，0）为抛物线的顶点，且抛物线的准线垂直于对称轴，焦点（1，1）关于顶点（0，0）的对称点（－1，－1）在准线上，故所求准线方程为02=++y x ．三、解答题17．不等式整理得01)12()1(<----x a x a ．当1≠a 时，不等式为 01)112)(1(<-----x a a x a ．……………（3分） ①当10<<a 时，1112<--a a ，原不等式解集为),1()112,(∞+⋃---∞a a ；……………（6分）②当1=a 时，不等式解集为),1(∞+；……………（9分）③当1>a 时，1112>--a a ，原不等式解集为)112,1(--a a ．……………（12分） 18．（Ⅰ）AB 方程为2p my x +=，代入抛物线px y 22=方程得0222=--p pmy y ．……………（3分）由韦达定理得2p y y B A -=．……………（5分） （Ⅱ）OA 方程为x x y y A A =，与准线方程联立解得M )2,2(AAx py p --．………（8分） ∴B BA A A A A My y pp y p y y p x py y =--=-=-=-=222222．……………（11分） 故直线MB 平行于抛物线的对称轴．……………（12分） 19．（Ⅰ）取AC 的中点O ，连结NO ，MO ，由N 为PC 的中点得NO ∥PA ．……………（2分）又PA ⊥平面ABCD ，∴NO ⊥平面ABCD ．……………（4分） 又∵OM ⊥AB ，由三垂线定理得AB ⊥MN ．又∵CD ∥AB ，∴MN ⊥CD ．……………（6分） （Ⅱ）存在点E ，使得AE ∥平面PMC ． 此时点E 为PD 的中点．……………（8分）证明如下：取PD 的中点E ，连结NE ， 由N 是PC 的中点得NE ∥CD ，CD NE 21=． 又 MA ∥CD ，CD MA 21=， ∴MA ∥NE ，MA ＝NE ．由此可知四边形MNEA 是平行四边形， ∴AE ∥MN ．由⊂MN 平面PMC ，⊄AE 平面PMC ， ∴AE ∥平面PMC ．……………（12分）20．设),(00y x P 为圆222R y x =+上任一点，则θcos 0R x =，θsin 0R y =．由题设知O 、A 、P 、B 在以OP 为直径的圆上，该方程为220202020)2()2()2(y x y y x x +=-+-．……………（4分）而AB 是圆222r y x =+和以OP 为直径的圆的公共弦，将这两圆方程相减得直线AB 的方程为200r y y x x =+．∴)0,(02x r M ，),0(02y r N ．……………（8分）242440042sin sin cos 2221R r R r R R r y x r ON OM S MON≥=⋅==⋅=∆θθθ． 故△MON 面积的最小值为24Rr ．……………（12分）21．∵22222)()1(b a b x x a x +--+ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-=，……（3分） ∵1>x ，∴11)1(1222----x x x 0)1)(1(222>-+=x x x ，即11)1(1222->--x x x ．……………（6分）∴ab b x x a x 2)1(12)1(2222---+-ab b x a x 211)1(2222--+-≥ 022211)122222≥-=--⋅-≥ab ab ab b x a x ，……………（11分） 故22222)()1(b a b x x a x +≥-+．……………（12分） 22．（Ⅰ）设点),(y x P ，则)22,(+=+y x OA OP ，)22,(-=-y x OA OP ． 由题设得34)22()22(2222=-++++y x y x ．………（3分）即点P 到两定点（0，22）、（0，－22）的距离之和为定值34，故轨迹C 是以（0，22±）为焦点，长轴长为34的椭圆，其方程为112422=+y x ．……（6分） （Ⅱ）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，线段MN 的中点为),(000y x M ， 由BN BM =得0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=.123,322y x m x y 消去y 得01232622=-++m mx x ．由0)12(24)32(22>--=∆m m 得6262<<-m ．………（10分）∴322210m x x x -=+=，2)32(30m m m y =+-=．即)2,32(0mm M -．由0BM ⊥MN 得1323220-=⋅--=⋅m m k k MN BM ． 故32=m 为所求．………（14分）（Ⅲ）若存在直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ),(11y x 、N ),(22y x ，且满足BN BM =，令线段MN 的中点为),(000y x M ，则0BM 垂直平分MN ．联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.123,12322222121y x y x两式相减得))(())((321212121y y y y x x x x -+-=-+． ∴k y x y y x x x x y y k MN =-=++-=--=021*******)(3．又由0BM ⊥MN 得k x y k BM 12000-=-=．∴10-=x ，ky 30=．即)3,1(0kM -．………（10分） 又点0M 在椭圆C 的内部，故1232020<+y x ．即12)3()1(322<+-⋅k．解得1>k .又点)3,1(0kM -在直线l 上，∴m k k +-=3．∴3233≥+=+=kk k k m （当且仅当3=k 时取等号）． 故存在直线l 满足题设条件，此时m 的取值范围为），∞+⋃--∞32[]32,(．………（14分）。