热点专题系列(二)求解共点力平衡问题的八种方法热点概述：共点力作用下的平衡条件是解决共点力平衡问题的基本依据，广泛应用于力、电、磁等各部分内容的题目中，求解共点力平衡问题的八种常见方法总结如下。

[热点透析]力的合成、分解法三个力的平衡问题，一般将任意两个力合成，则该合力与第三个力等大反向，或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解，从而得到两对平衡力。

如图所示，用三段不可伸长的轻质细绳OA 、OB 、OC 共同悬挂一重物使其静止，其中OA 与竖直方向的夹角为30°，OB 沿水平方向，A 端、B 端固定。

若分别用F A 、F B 、F C 表示OA 、OB 、OC 三根绳上的张力大小，则下列判断中正确的是( )A ．F A >FB >F CB ．F A <F B <FC C ．F A >F C >F BD ．F C >F A >F B解析 根据平衡条件有细绳OC 的张力大小等于重物的重力，对O 点受力分析，如图所示。

F A ＝mg cos30°＝233mg ，F B ＝mg tan30°＝33mg ，因此得F A >F C >F B ，C 正确。

答案 C正交分解法将各力分解到x 轴上和y 轴上，运用两坐标轴上的平衡条件F x ＝0、F y ＝0进行分析，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。

值得注意的是，对x 、y 方向选择时，尽可能使较多的力落在x 、y 轴上，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。

如图所示，水平细杆上套有一质量为0.54 kg 的小环A ，用轻绳将质量为0.5 kg 的小球B 与A 相连。

B 受到始终与水平方向成53°角的风力作用，与A 一起向右匀速运动，此时轻绳与水平方向夹角为37°，运动过程中B 球始终在水平细杆的下方，则：(取g ＝10 m/s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)B 对绳子的拉力大小；(2)A 与杆间的动摩擦因数。

解析 (1)对小球B 进行受力分析如图甲，由平衡条件得绳的拉力为F T ＝mg sin37°＝3.0 N由牛顿第三定律知B 对绳子的拉力大小为3.0 N 。

(2)环A 做匀速直线运动，对环A 受力分析如图乙，有：F T cos37°－F f ＝0，F N ＝Mg ＋F T sin37°而F f ＝μF N ，解得μ＝13。

答案 (1)3.0 N (2)13 图解法在共点力的平衡中，有些题目中常有“缓慢”一词，则物体处于动态平衡状态。

解决动态平衡类问题常用图解法，图解法就是在对物体进行受力分析(一般受三个力)的基础上，若满足有一个力大小、方向均不变，另有一个力方向不变时，可画出这三个力的封闭矢量三角形来分析力的变化情况的方法，图解法也常用于求极值问题。

如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O 点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F 1和球对斜面的压力F 2的变化情况是( )A ．F 1先增大后减小，F 2一直减小B ．F 1先减小后增大，F 2一直减小C ．F 1和F 2都一直减小D ．F 1和F 2都一直增大解析 小球受力如图甲所示，因挡板是缓慢转动，所以小球处于动态平衡状态，在转动过程中，此三力(重力、斜面支持力、挡板弹力)组成矢量三角形的变化情况如图乙所示(重力大小方向均不变，斜面对其支持力方向始终不变)，由图可知此过程中斜面对小球的支持力不断减小，挡板对小球弹力先减小后增大，再由牛顿第三定律知B 正确，A 、C 、D 错误。

答案 B三力汇交原理物体受三个共面非平行外力作用而平衡时，这三个力的作用线(或反向延长线)必交于一点。

一根长2 m ，重为G 的不均匀直棒AB ，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图所示，则关于直棒重心C 的位置，下列说法正确的是( )A ．距离B 端0.5 m 处B ．距离B 端0.75 m 处C ．距离B 端32 m 处D ．距离B 端33m 处 解析 当一个物体受三个力作用而处于平衡状态时，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把O 1A 和O 2B 延长相交于O 点，则重心C 一定在过O 点的竖直线上，如图所示。

由几何知识可知：BO ＝12AB ＝1 m ，BC ＝12BO ＝0.5 m ，故重心应在距B 端0.5 m 处。

A 项正确。

答案 A整体法和隔离法当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法；而在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法。

整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。

如图所示，两个相同的物体A、B叠在一起放在粗糙的水平桌面上，连在物体B 上的轻绳通过定滑轮与空箱C相连，箱内放有一小球与箱内壁右侧接触，整个系统处于静止状态。

已知A、B的质量均为m，C的质量为M，小球的质量为m0，物体B与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计滑轮摩擦和空气阻力，下列说法正确的是( )A．物体A受到三个力的作用B．小球受到三个力的作用C．桌面受到物体的摩擦力大小为2μmgD．桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g解析隔离A可知A只受重力和B对A的支持力而平衡，故A错误；隔离小球，小球受两个力，重力和箱底的支持力，故B错误；以AB整体为研究对象，桌面对B的摩擦力f＝(M ＋m0)g，B与桌面间的静摩擦力不一定达到最大，故不一定等于2μmg，由牛顿第三定律知桌面受到物体的摩擦力大小为(M＋m0)g，故C错误，D正确。

答案 D假设法假设某条件存在或不存在，进而判断由此带来的现象是否与题设条件相符，或者假设处于题设中的临界状态，以此为依据，寻找问题的切入点，进而解决该问题。

(多选)如图所示，竖直平面内质量为m的小球与三条相同的轻质弹簧相连接。

静止时相邻两弹簧间的夹角均为120°，已知弹簧a、b对小球的作用力均为F，则弹簧c对此小球的作用力的大小可能为( )A．F B．F＋mgC．F－mg D．mg－F解析假设三个弹簧中有a、b两弹簧伸长而c弹簧缩短了，则此时小球的受力情况是：a和b两弹簧的拉力F、c弹簧的支持力F c、小球自身的重力mg，如图甲所示。

由共点力的平衡条件可得：2F cos60°＋F c－mg＝0，则得F c＝mg－F，故D选项正确。

因为题中并未给定mg 与F的大小关系，故可能有mg＝2F，则有F c＝mg－F＝2F－F＝F，故A选项正确。

假设a、b、c三个弹簧均是压缩的，此时小球的受力情况如图乙所示，小球的受力情况是：自身重力mg、a和b两弹簧斜向下方的弹力F、c弹簧竖直向上的弹力F c，对小球由共点力的平衡条件可得：2F cos60°＋mg－F c＝0，则F c＝F＋mg，故B选项正确。

假定a、b、c三个弹簧均是伸长的，此时小球的受力情况如图丙所示。

小球的受力情况是：自身的重力mg、a和b两弹簧斜向上方的拉力F、c弹簧向下的拉力F c，对小球由共点力的平衡条件可得，2F cos60°－mg－F c＝0，所以F c＝F－mg，故C选项正确。

答案ABCD相似三角形法在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。

注意：构建三角形时可能需要画辅助线。

如图所示，光滑半球面上的小球被一绕过定滑轮的绳用力F由底端缓慢拉到顶端的过程中，试分析绳的拉力F及半球面对小球的支持力F N的变化情况。

解析如图所示，作出小球的受力示意图，注意支持力F N总与半球面垂直，从图中可得到相似三角形。

设半球面半径为R，定滑轮到半球面顶端的距离为h，定滑轮左侧绳长为L，根据三角形相似得F L ＝mgh＋R，F NR＝mgh＋R由以上两式得绳的拉力F＝mgLh＋R，半球面对小球的支持力F N＝mgRh＋R。

由于在拉动过程中h 、R 不变，L 变小，故F 减小、F N 不变。

答案 F 减小 F N 不变正弦定理法如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即F 1sin α＝F 2sin β＝F 3sin γ。

(多选)如图所示，两根轻绳一端系于结点O ，另一端分别系于固定圆环上的A 、B 两点，O 为圆心。

O 点下面悬挂一物体M ，绳OA 水平，拉力大小为F 1，绳OB 与绳OA 的夹角α＝120°，拉力大小为F 2。

将两绳同时缓慢顺时针转过75°，并保持两绳之间的夹角α始终不变，物体始终保持静止状态。

则在旋转过程中，下列说法正确的是( )A ．F 1逐渐增大B ．F 1先增大后减小C ．F 2逐渐减小D ．F 2先减小后增大解析 如图所示，以结点O 为研究对象进行受力分析。

由正弦定理得G sin α＝F 1sin γ＝F 2sin β，其中α＝120°不变，则比值不变，γ由钝角变为锐角，sin γ先变大后变小，则F 1先增大后减小，β由90°变为钝角，则sin β变小，F 2逐渐减小，故B 、C 正确。

答案 BC[热点集训]1.(2019·安徽教研会联考)(多选)如图，在一段平坦的地面上等间距分布着一排等高的输电线杆，挂在线杆上的电线粗细均匀且呈对称性。

由于热胀冷缩，冬季两相邻线杆之间的导线长度会有所减少。

对B 线杆及两侧的电线，冬季与夏季相比( )A．电线最高点处的张力变大B．电线最低点处的张力不变C．线杆对地面的压力变小D．线杆两侧电线对线杆拉力的合力不变答案AD解析对电线最低点受力分析如图，可知冬季电线拉力与竖直方向的夹角变大，合力不变，则冬季电线最低点处的张力变大，同理可知，电线最高点处的张力也变大，B错误，A正确；求线杆对地面的压力可以把线杆和电线看做整体，由平衡条件知线杆对地面的压力大小始终等于线杆和电线重力之和，C错误；线杆两侧电线对线杆拉力的合力等于电线的重力，故线杆两侧电线对线杆拉力的合力不变，D正确。

2.(2019·哈尔滨六中阶段考)如图所示，在竖直平面内固定一圆心为O、半径为R的光滑圆环，原长为R的轻弹簧上端固定在圆环的最高点A，下端系有一个套在环上且重力为G的小球P(可视为质点)。

若小球静止时，O、P两点的连线恰好水平，且弹簧的形变未超出其弹性限度，则弹簧的劲度系数为( )A.GRB.G2RC.2＋2GRD.2－2GR答案 C解析对小球受力分析如图所示，由几何知识可知θ＝45°，则F＝2G，弹簧的伸长量Δx＝(2－1)R，则k＝FΔx＝2＋2GR，C项正确。