培优点四 共点力的平衡1. 从历年命题看，对共点力平衡的考查，常以选择题的形式出现，以物体的平衡状态为背景，考查整体与隔离法、受力分析、正交分解与共点力平衡，同时对平衡问题的分析在后面的计算题中往往也有所涉及。

2. 解决平衡问题常用方法：(1)静态平衡：三力平衡一般用合成法，合成后力的问题转换成三角形问题；多力平衡一般用正交分解法；遇到多个有相互作用的物体时一般先整体后隔离。

(2)动态平衡：三力动态平衡常用图解法、相似三角形法等，多力动态平衡问题常用解析法，涉及到摩擦力的时候要注意静摩擦力与滑动摩擦力的转换。

典例1. (2017·全国Ⅰ卷∙21)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N 。

初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α⎝⎛⎭⎪⎫α>π2。

现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。

在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )A ．MN 上的张力逐渐增大B ．MN 上的张力先增大后减小C ．OM 上的张力逐渐增大D ．OM 上的张力先增大后减小【解析】方法一 设重物的质量为m ，绳OM 中的张力为T OM ，绳MN 中的张力为T MN 。

开始时，T OM ＝mg ，T MN ＝0。

由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg 等大、反向。

如图所示，已知角α不变，在绳MN 缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：T OMα－β＝mgsin θ，(α－β)由钝角变为锐角，则T OM 先增大后减小，选项D 正确；同理知T MN sin β＝mg sin θ，在β由0变为π2的一、考点分析二、考题再现过程中，T MN 一直增大，选项A 正确。

方法二(此解法要求考生能够根据重物所受的两个拉力的夹角大小不变、合力不变这一特点联想到圆周上弦长恒定时所对的圆周角不变这一数学规律，从而作出力的三角形) 以重物为研究对象，受重力mg ，OM 绳上拉力F 2，MN 上拉力F 1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 1、F 2的夹角为(π-α)不变，在F 2转至水平的过程中，MN 上的张力F 1逐渐增大，OM 上的张力F 2先增大后减小，所以A 、D 正确，B 、C 错误。

【答案】AD典例2. (2016∙全国I 卷∙19)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO ′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a ，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b 。

外力F 向右上方拉b ，整个系统处于静止状态。

若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块b 仍始终保持静止，则( )A ．绳OO ′的张力也在一定范围内变化B ．物块b 所受到的支持力也在一定范围内变化C ．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化D ．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【解析】由于物体a 、b 均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力T ＝m a g ，所以物体a 受到绳的拉力保持不变。

由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b 受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C 选项错误；a 、b 受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO ′的张力不变，A 选项错误；对b 进行受力分析，如图所示。

由平衡条件得：T cos β＋f ＝F cos α，F sin α＋F N ＋T sin β＝m b g 。

其中T 和m b g 始终不变，当F 大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B 选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D 选项正确。

【答案】BD三、对点速练1. 如图所示，一只半径为R 的半球形碗倒扣在水平桌面上，处于静止状态。

一质量为m 的蚂蚁(未画出)在离桌面高度为45R 时恰能停在碗上，则蚂蚁受到的最大静摩擦力大小为( )A ．0.6mgB ．0.8mgC ．0.4mgD ．0.75mg【答案】A【解析】蚂蚁受重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件有F m＝mg sin θ，而cos θ＝0.8，所以F m ＝μmg cos θ＝0.6mg ，故A正确。

2. 如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L ，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )A ．mg B.33mg C. 12mg D. 14mg 【答案】C【解析】由题图可知，要使CD 水平，各绳均应绷紧，则AC 与水平方向的夹角为60°；结点C 受力平衡，受力分析如图所示，则CD 绳的拉力F T ＝mg tan 30°＝33mg ；D 点受绳子拉力大小等于F T ，方向向左；要使CD 水平，D 点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D 点的拉力可分解为沿BD 绳的F 1，及另一分力F 2，由几何关系可知，当力F 2与BD 垂直时，F 2最小，而F 2的大小即为拉力的大小，故最小力F ＝F T sin 60°＝12mg 。

故C 正确。

3．(多选)如图所示，小球A 置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B 用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A 、B 通过光滑滑轮O 用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B 球质量为m ，O 点在半圆柱体圆心O 1的正上方，OA 与竖直方向成30°角，OA 长度与半圆柱体半径相等，OB 与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是( )A ．小球A 、B 受到的拉力F T OA 与F T OB 相等，且F T OA ＝F T OB ＝mgB．弹簧弹力大小为mgC．A球质量为m A＝6mD．光滑半圆柱体对A球支持力的大小为mg 【答案】BC【解析】对B受力分析可知：细线的拉力F T OB＝mgcos 45°＝2mg，则F T OA＝F T OB＝2mg，选项A错误；弹簧弹力大小F＝mg tan 45°＝mg，选项B正确；对A球受力分析可知：m A g＝2F T OA cos 30°，解得m A＝6m，选项C正确；光滑半圆柱体对A球支持力的大小为F N＝F T OA＝2mg，选项D错误。

4. 如图所示，倾角为α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a放在斜面上，轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过光滑的滑轮固定在c点，滑轮2下悬挂物体b，系统处于静止状态。

若将固定点c向右移动少许，而a与斜劈始终静止，下列说法错误的是( )A．斜劈对物体a的摩擦力一定减小 B．斜劈对地面的压力一定不变C．细线对物体a的拉力一定增大 D．地面对斜劈的摩擦力一定增大【答案】A5. (多选)如图所示，两个相同的固定斜面上分别放有一个处于静止的三角形木块A、B，它们的质量相等。

A木块左侧面沿竖直方向，B木块左侧面垂直于斜面，在两斜面上分别放上一个相同的光滑球后，木块仍保持静止，则放上球后( )A．A木块受到的摩擦力等于B木块受到的摩擦力B．A木块受到的摩擦力小于B木块受到的摩擦力C．A木块对斜面的压力等于B木块对斜面的压力D．A木块对斜面的压力小于B木块对斜面的压力【答案】AD【解析】设小球的质量为m，A、B的质量为M，斜面的倾角为α。

以小球与A整体为研究对象，由平衡条件可得：A木块受到的摩擦力f A＝(M＋m)g sin α，同理，以小球与B整体为研究对象，得到B木块受到的摩擦力f B＝(M＋m)·g sin α，则f A＝f B，故A正确，B错误。

以A 为研究对象，分析受力，如图所示，由平衡条件得：斜面对A的支持力N A＝Mg cos α－N1sinα，以B 为研究对象，分析受力，由平衡条件得：斜面对B 的支持力N B ＝Mg cos α，则得N A <N B 。

由牛顿第三定律可知，A 木块对斜面的压力小于B 木块对斜面的压力，故C 错误、D 正确。

6. 如图所示，倾角θ＝30°的斜面体A 静止在水平地面上，一根轻绳跨过斜面体顶端的小滑轮，绳两端系有质量均为m 的小物块a 、b ，整个装置处于静止状态。

现给物块b 施加一个水平向右的力F ，使b 缓慢移动直到轻绳与竖直方向成30°角(不计绳与滑轮间的摩擦)，对此过程说法正确的是( )A ．b 受到绳的拉力先增大再减小B ．小物块a 受到的摩擦力先增大再减小C ．水平拉力F 逐渐增大D ．小物块a 一定沿斜面缓慢上移【答案】C【解析】b 受力平衡，对b 受力分析，如图甲所示。

设绳与竖直方向的夹角为α，b 缓慢移动直到与竖直方向成30°角的过程中，α变大，根据平行四边形定则可知，T 逐渐增大，F 逐渐增大，故A 错误，C 正确；对a 受力分析，如图乙所示。

刚开始T ＝mg ，a 处于静止状态，则f ＝T－mg sin 30°＝12mg ，方向向下，T 增大时，f 增大，摩擦力增大，由于不知道最大静摩擦力的具体值，所以不能判断a 是否会滑动，故B 、D 错误。

7．一铁球通过3段轻绳OA 、OB 、OC 悬挂在天花板上的A 点，轻绳OC 拴接在轻质弹簧测力计上。

第一次，保持结点O 位置不变，某人拉着轻质弹簧测力计从水平位置缓慢转动到竖直位置，如图甲所示，弹簧测力计的示数记为F 1。

第二次，保持轻绳OC 垂直于OA ，缓慢移动轻绳，使轻绳OA 从竖直位置缓慢转动到如图乙所示位置，弹簧测力计的示数记为F 2。

则( )A ．F 1先增大后减小，F 2逐渐减小B ．F 1先增大后减小，F 2逐渐增大C ．F 1先减小后增大，F 2逐渐减小D ．F 1先减小后增大，F 2逐渐增大【答案】D【解析】对图中的O 点受力分析，两根绳的合力等于铁球的重力，其大小和方向不变，如图所示。

a 图中F 1先减小，后增大；b 图中F 2逐渐增大，选项D 正确。

8. (多选)如图所示，木板P 下端通过光滑铰链固定于水平地面上的O 点，物体A 、B 叠放在木板上且处于静止状态，此时物体B 的上表面水平。

现使木板P 绕O 点缓慢旋转到虚线所示位置，物体A 、B 仍保持静止，与原位置的情况相比( )A ．A 对B 的作用力减小 B ．B 对A 的支持力减小C ．木板对B 的支持力增大D ．木板对B 的摩擦力增大【答案】BC【解析】设木板与水平地面的夹角为α。

以A 为研究对象，A 原来只受到重力和支持力而处于平衡状态，所以B 对A 的作用力与A 的重力大小相等，方向相反；当将P 绕O 点缓慢旋转到虚线所示位置，B 的上表面不再水平，A 受力情况如图1，A 受到重力和B 对A 的支持力、摩擦力三个力的作用，其中B 对A 的支持力、摩擦力的合力仍然与A 的重力大小相等，方向相反，则B 对A 的作用力保持不变。