Wtk Wtk1服 从 正 态 分 布 N (0,tk -tk1)，
所以
（ W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W ） t n 1 是n维正态变量.
又由于 (W t 1 ,W t2 ,
,W t n ) (W t 1 ,W t2 W t1 ,
1 1 1
0 1 1
1
0
= 0 1
0
y n
wn 0 0
1
J 1
则向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数为 f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J
要将y k 换为w k -w k 1,k 1,2,L ,n
f(w1,L , wn ) ft1 ,t2 t1 ,L ,tn tn1 (y1,L , yn ) J 将yk 换为w k -w k 1
j(u2 u3 un )Y2
E [ e junYn ]
Y1 (u1 u2 un )Y2 (u2 u3 un ) Yn (un )
证毕
例2.3.5(1) 计算标准布朗运动的有限维特征函数
提示：利用过程的独立增量性
解 对任意n 1及0 t1 L tn , n维随机变量的
E [ e ] t1,t2,...,tn (u1,u2 ,..., un )
j (u1X t1 un X tn )
①
令 Y1 Xt1 ,Y2 Xt2 Xt1 ,L ,Yn Xtn Xt n1
由题意知 Y1,Y2,…,Yn独立
则 Xt1 Y1,
Xt2 Y1 Y2 ,
L,
Xtn Y1 Y2 L Yn
代入①式
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [ e j ( u 1X t1 ] u n X Байду номын сангаас n )
E [ e ] j ( ( u 1 u 2 u n ) Y1 ( u 2 u 3 u n ) Y 2 u n Y n )
E [ e ] E [ e ] j ( u 1 u 2 u n ) Y1
x2
y
t
2
t 1
(
z
)dz
t
1
(
y
)dy
其中t1 ( y )为N(0,t1 )分布的密度函数， t2 t1 (z )为N(0,t2 -t1 )分布的密度函数。
补例1 设 W={Wt,t≥0}是标准布朗运动. 验证 W是一个正态过程.
证明 由定义，对任意的n≥1,及任意的 0 t1 t2 tn W t 1 , W t 2 W t 1 , , W t n W t n 1 相互独立且
(Wt1 ,Wt2 ,L ,Wtn ) 的特征函数为
t1,t2 ,...,tn (u1, u2 ,..., un ) E [e j(Wt1u1 ] Wtnun )
令 Y1 Wt1 ,Y2 Wt2 Wt1 ,L ,Yn Wtn Wtn1
(u , u , ..., u ) t1 ,t2 ,...,tn 1 2
n Y1 (u1 L un )Y2 (u2 L un ) L Yn (un )
注意到有
Y1 (u1 L
u ) e 21(u1 L un )2t1 n
Yk (uk L
u ) e ,
1 2
(uk
L
un
)2 (t k
t k 1 )
n
k=2,L ,n
例2.3.2 试计算标准布朗运动的一、二维分布函数
(1) W0 0
(2) 对任意0 s t,Wt Ws ~ N (0,t s)
(3) W 具有独立增量性．
问题：计算布朗运动的有限维分布？
结论： 独立增量过程的有限维分布函数由其一维分 布函数和增量分布函数确定．
证明 对n 1及t1 t2 tn T , n维随机变量的
( Xt1 , Xt2 ,L , Xtn ) 的特征函数为
注 意 到 有 W t1 N(0,t1)
一 维 分 布 函 数 F (t1; x ) = P (W t1 ≤ x )
二维分布函数为
1
2t1
e dx x
- x2 2t1
-
F(t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P(W t1 ≤ x 1, Wt2 ≤ x 2 )
令 W ,t 1
= P ( W t 1 ≤ x 1 , W t 1 ( W t 2 W t 1 ) ≤ x 2 )
W t2 W t1 ,则 服 从 N ( 0 ,t 1 )分 布 ， 服 从 N ( 0 ,t 2 t 1 )分 布
所 以 F (t 1,t 2 ; x 1, x 2 ) = P ( ≤ x 1, ≤ x 2 )
x1
P(
≤
x
2
-y
,
dy
)
x1
P(
≤
x
2
-y
)P（
dy
)
x1
主要内容
➢ 布朗运动及其定义 ➢ 布朗运动的一些性质 ➢ 与布朗运动的相关的随机过程 本章作业：1、2、3、6、8
布朗运动
Brown 1827 年
Einstein 1905
Wiener 1918年以后
自然现象 物理解释
数学定义
布朗运动及其推广在经济、工程、管理及数理统计等领 域有广泛应用。
定义2.2.7 称实随机过程W={Wt，t≥0}是标准布朗运动, 如果
,W
tn W
) t n 1
0
0
1
0
0
1
所以 ( W t 1 ,W t 2 , ,W t n ) 是n维正态变量. 所以W是正态过程.
证2. 提示 计算向量(Wt1 ,L ,Wtn )的联合概率密度函数
记 Ytk =Wtk -Wtk -1 ,k = 1,2,L ,n
由增量独立性知，向量(Yt1 ,Yt2，L ,Ytn )的 联合概率密度函数为
n
1
(wk wk1 )2
e 2(tk tk1 )
k 1 2 tk tk 1
n (2 )2
1
1 n (wk wk1 )2
e 2 k1 (tk tk1 )
n
(tk tk1)
k 1
为n维正态随机变量的联合概率密度函数.
n
f (y ,L t1,t2 t1,L ,tn tn1 1 , yn ) k 1
2
1
yk2
e 2(tk tk1 )
tk tk 1
因Wk Y1 L Yk y k =w k -w k 1, k = 1,L ,n
y 1
w1
则雅可比矩阵J=
y n
w1
y 1 1 0
0
wn
1